Disequazione irrazionale (30922)

[Straightedge]

Salve a tutti,nn riesco a risolvere questa disequazione irrazionale:

[math]\sqrt{x+1}[/math]

>

[math]\frac{1}{sqrt x-1}[/math]

Nel caso in cui nn avessi scritto bene il secondo membro,è 1 fratto radice quadrata di x-1(la radice dovrebbe essere su tutto il binomio)
Ringrazio chi mi risponderà!

[adry105]

uhm in teoria sia il primo membro che il secondo sono positivi quindi puoi elevare al quadrato e poi risolvere.. http://img188.imageshack.us/img188/3481/21052009007y.jpg

[Straightedge]

adry105:
uhm in teoria sia il primo membro che il secondo sono positivi quindi puoi elevare al quadrato e poi risolvere.. http://img188.imageshack.us/img188/3481/21052009007y.jpg

MMhh...il problema è che la soluzione è solo x>radical2

[adry105]

Uhm hai il libro con le soluzioni errate =P aspetta ora lo rivedo.. ah ops =) il dominio è che x sia maggiore o uguale a 1, perchè quello che è dentro radice è x+1 e x-1.. quindi x>-1 e x>1 le metti ad intersezione e quindi x>1... Dominio [+1;+inf[

[Straightedge]

Il secondo membro è come lo hai scritto tu nell'immagine,solo che il denominatore(x-1)è sotto radice(naturalmente nell'immagine il tutto è già elevato al quadrato)...nn è che bisogna fare tipo la condizione di esistenza?In tal caso(scusa l'ignoranza)come si risolve 1/x-1 >0?

[adry105]

si.. il campo di esistenza in questo caso si fa perchè hai una radice.. e quindi il radicando deve essere maggiore o uguale a 0.. questo perchè un numero all'interno della radice deve essere positivo e quindi ciò che sta dentro la radice deve essere maggiore o uguale a 0.. se ci pensi non esiste una radice di un numero negativo.. quindi metti a sistema x+1 maggiore o uguale a 0 con x-1 magg. o uguale a 0 e trovi il campo di esistenza

[BIT5]

[math]\sqrt{x+1}[/math]

>

[math]\frac{1}{sqrt {x-1}}[/math]

Effettivamente, prima di elevare al quadrato entrambi i membri, dobbiamo discutere il campo di esistena delle radici:

[math]\{x+1 \ge0 \\ x-1>0[/math]

ovvero

[math]\{x \ge -1 \\ x>1[/math]

L'intervallo in cui esistono entrambe le radici è

[math]x>1[/math]

A questo punto possiamo prendere due strade..
La più corretta, secondo me, è questa:

Minimo comune multiplo:

[math] \frac{ \sqrt{x+1} \sqrt{x-1}}{ \sqrt{x-1}}> \frac{1}{ \sqrt{x-1}}[/math]

Quindi

[math]\frac{ \sqrt{(x+1)(x-1)}}{ \sqrt{x-1}}> \frac{1}{ \sqrt{x-1}}[/math]

E, facendo il prodotto notevole e portando tutto a sinistra:

[math] \frac{ \sqrt{x^2-1}-1}{ \sqrt{x-1}}>0[/math]

Discutiamo Numeratore e Denominatore:

N>0

[math]\sqrt{x^2-1}-1>0 \\ \sqrt{x^2-1}>1[/math]

Affinchè la radice di un valore sia maggiore di 1, è sufficiente che il radicando sia maggiore del quadrato di 1 (ovviamente dove la radice esiste, ma questo l'abbiamo già discusso nel Campo di Esistenza)

[math]x^2-1>1 \\ x^2-2>0 \\ (x+ \sqrt{2})(x- \sqrt{2})>0[/math]

Valori "esterni"

[math]N>0 \\ x \sqrt{2}[/math]

Il denominatore, quando la radice esiste, è sempre maggiore di 0 (il caso in cui il radicando sia 0 e quindi la radice venga zero, l'abbiamo escluso nelle limitazioni del Campo di Esistenza...)

Quindi il segno ce lo dà solo il numeratore.

Ma il C.E. era x>1

Quindi l'intervallo

[math]x \sqrt{2}[/math]

[Straightedge]

Tutto chiaro,perfetto,dunque l'unica soluzione accettabile è x>radical2....grazie mille,gentilissimi entrambi