Disequazione irrazionale
ciao a tutti! ho avuto un piccolo problema con questa disequazione che devo risolvere con ragionamenti e facendo il minor numero possibile di calcoli.
$sqrt(x-1)*(x+x^8+ 2 *^3sqrtx -1)$> o uguale a 0
io ho pensato che la radice per essere > o ug a 0 è per x> o ug 1
ma per l'espressione tra parentesi come faccio?
il risultato è x> o ug 1
ps l'esponente 3 si riferisce alla radice di x e non a 2...
grazie
$sqrt(x-1)*(x+x^8+ 2 *^3sqrtx -1)$> o uguale a 0
io ho pensato che la radice per essere > o ug a 0 è per x> o ug 1
ma per l'espressione tra parentesi come faccio?
il risultato è x> o ug 1
ps l'esponente 3 si riferisce alla radice di x e non a 2...
grazie
Risposte
allora, non serve nessun calcolo!!!
il dominio e' x>=1, giusto? (altrimenti non esiste la prima radice.
ora per tali valori di x tutti i termini del prodotto sono positivi:
sqrtx>0 per definizione
nella parentesi tutti i termin sono maggiori di 1 quindi la loro somma -1 e' positiva
quindi hai il prodotto di due quantita' positive che e' positiva.
ci sei?
in conclusione la risposta e'
"per ogni x nel dominio"
cioe'
x>=1
il dominio e' x>=1, giusto? (altrimenti non esiste la prima radice.
ora per tali valori di x tutti i termini del prodotto sono positivi:
sqrtx>0 per definizione
nella parentesi tutti i termin sono maggiori di 1 quindi la loro somma -1 e' positiva
quindi hai il prodotto di due quantita' positive che e' positiva.
ci sei?
in conclusione la risposta e'
"per ogni x nel dominio"
cioe'
x>=1
ci sono ci sono! 
era così semplice!
grazie giuseppe
era così semplice!
grazie giuseppe
Vedo che già è arrivata la risposta
di Giuseppe, ma posto comunque la mia,
un po' più "da ingegnere"
.
La disequazione è:
$sqrt(x-1)*(x+x^8+2root(3)x-1)>=0
Anzitutto dev'essere $x>=1$ per le condizioni
di esistenza di $sqrt(x-1)$.
Studiamo il segno dei due fattori.
1) Ovviamente: $sqrt(x-1)>=0 <=> x>=1$
ovvero, $sqrt(x-1)$ è una funzione non negativa
in tutto il suo insieme di definizione.
2) $x+x^8+2root(3)x-1>=0$
$x+x^8>=1-2root(3)x
Osserviamo che per $\mathbf{x>=1}$
(condizione di esistenza)
si ha: $1-2root(3)x<0$. Quindi riscriviamo
l'ultima disequazione così:
$1-2root(3)x<0<=x+x^8
sottilineo SEMPRE PER $x>=1$
Perciò, dato che $1-2root(3)x$ è sempre
negativo per $x>=1$, possiamo studiare
il segno di $x+x^8$, perciò studiamo
la disequazione: $x+x^8>=0
Si trova facilmente che essa è soddisfatta
per $x<=-1 vv x>=0$. Dato che $x<=-1$
è ovviamente da escludere e dato che
se $x>=1$ è anche $>=0$, si ha che
la soluzione della disequazione è appunto $x>=1$.
di Giuseppe, ma posto comunque la mia,
un po' più "da ingegnere"
.La disequazione è:
$sqrt(x-1)*(x+x^8+2root(3)x-1)>=0
Anzitutto dev'essere $x>=1$ per le condizioni
di esistenza di $sqrt(x-1)$.
Studiamo il segno dei due fattori.
1) Ovviamente: $sqrt(x-1)>=0 <=> x>=1$
ovvero, $sqrt(x-1)$ è una funzione non negativa
in tutto il suo insieme di definizione.
2) $x+x^8+2root(3)x-1>=0$
$x+x^8>=1-2root(3)x
Osserviamo che per $\mathbf{x>=1}$
(condizione di esistenza)
si ha: $1-2root(3)x<0$. Quindi riscriviamo
l'ultima disequazione così:
$1-2root(3)x<0<=x+x^8
sottilineo SEMPRE PER $x>=1$
Perciò, dato che $1-2root(3)x$ è sempre
negativo per $x>=1$, possiamo studiare
il segno di $x+x^8$, perciò studiamo
la disequazione: $x+x^8>=0
Si trova facilmente che essa è soddisfatta
per $x<=-1 vv x>=0$. Dato che $x<=-1$
è ovviamente da escludere e dato che
se $x>=1$ è anche $>=0$, si ha che
la soluzione della disequazione è appunto $x>=1$.
ciao fireball! complimenti per la tua spiegazione da ingegnere, davvero esauriente
ma dovevo risolvere l'esercizio con meno calcoli
(ma l'avevo specificato?!)
cmq grazie lo stesso
siete tutti gentilissimi
ma dovevo risolvere l'esercizio con meno calcoli
(ma l'avevo specificato?!)
cmq grazie lo stesso
siete tutti gentilissimi
Io non ho fatto calcoli... Ho fatto solo ragionamenti da ingegnere!
"fireball":
Io non ho fatto calcoli... Ho fatto solo ragionamenti da ingegnere!
tipico da ingegnere
comunque bastava notare (per la parentesi) che x-1>=0 sempre nel dominio..
a fortiora, dunque, tutta la parentesi e' > 0, no?
mha, questi ingegneri...
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