Disequazione irrazionale

[mollydeep]

Salve.
Qualcuno mi aiuta a risolvere questa disequazione irrazionale?
$((root(3)(x^3+2x^2+3x)-x-1))/((root(2)(5x-x^2-4)-x+1))>=0$
la soluzione dovrebbe essere $5/2
Ponendo il Numeratore $>=0$ non mi da soluzioni valide
Per quanto riguarda il Denominatore:
- il primo sistema $\{(x-1<0), (5x-x^2-4>=0):}$ non mi da alcuna soluzione in comune
- il secondo sistema $\{(x-1>=0), (5x-x^2-4>(x-1)^2):}$ mi da $1 che è per me la sol. finale in quanto non c'è nulla da sommare (visto che il primo sistema non ha sol.)

Cosa mi sfugge?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Premesso che, per risolvere un solo sistema, preferisco porre il denominatore negativo:

Studio del segno del numeratore

$N gt= 0$

$root(3)(x^3+2x^2+3x)-x-1 gt= 0$

$root(3)(x^3+2x^2+3x) gt= x+1$

$x^3+2x^2+3x gt= x^3+3x^2+3x+1$

$x^2+1 lt= 0$

Impossibile

Studio del segno del denominatore

$D lt 0$

$root(2)(5x-x^2-4)-x+1 lt 0$

$root(2)(5x-x^2-4) lt x-1$

$\{(5x-x^2-4 gt= 0),(x-1 gt 0),(5x-x^2-4 lt x^2-2x+1):}$

$\{(1 lt= x lt= 4),(x gt 1),(x lt 1 vv x gt 5/2):}$

$[5/2 lt x lt= 4] ^^[$ Campo di esistenza: $1 lt= x lt= 4]$

Non ti resta che concludere mediante un grafico del segno oppure, più elegantemente, osservando che il numeratore è sempre negativo. In ogni caso:

$5/2 lt x lt= 4$

[mollydeep]

La ringrazio per la gentile risposta, però non capisco due cose:
1) ho sempre pensato che, se il segno della frazione fosse $>$, numeratore e denominatore dovessero essere studiati concordanti (quindi entrambi $>0$)
2) Nel caso con $D>0$ non capisco dove sia l'errore (mi piacerebbe scoprirlo).
Grazie

[anonymous_0b37e9]

"mollydeep":
... ho sempre pensato che ...

Veramente, poichè il segno della frazione dipende dal segno del numeratore e del denominatore, prima di tutto è necessario studiare il segno di quest'ultimi. Allo scopo, è possibile chiedersi quando sono positivi oppure negativi, indipendentemente dal segno della frazione richiesto. Nel caso in cui si debbano risolvere delle disequazioni irrazionali, conviene imporre la condizione che porta a risolvere un solo sistema di tre disequazioni. Solo per fare un esempio, se si deve studiare il segno della seguente frazione:

$(1-2x-sqrt(x^2-3x+2))/(sqrt(16-x^2)+3x-4)$

conviene chiedersi quando il numeratore è positivo:

$[N gt 0] rarr [1-2x-sqrt(x^2-3x+2) gt 0] rarr [sqrt(x^2-3x+2) lt 1-2x]$

e quando il denominatore è negativo:

$[D lt 0] rarr [sqrt(16-x^2)+3x-4 lt 0] rarr [sqrt(16-x^2) lt 4-3x]$

Solo così la disequazione irrazionale corrispondente, posta in forma normale, può essere risolta con un solo sistema di tre disequazioni. Ovviamente, nel caso del numeratore alle soluzioni devono corrispondere i segni $+$, nel caso del denominatore alle soluzioni devono corrispondere i segni $-$. Solo alla fine è possibile determinare, mediante il prodotto dei segni del numeratore e del denominatore, il segno della frazione, sia quando è positiva, sia quando è negativa. Insomma, il segno della frazione richiesto dalla consegna non incide minimamente sul procedimento adottato, tanto è vero che la consegna potrebbe tranquillamente essere formulata nel modo seguente:

Studiare il segno della frazione sottostante:

$(1-2x-sqrt(x^2-3x+2))/(sqrt(16-x^2)+3x-4)$

"mollydeep":
... non capisco dove sia l'errore ...

Poichè il numeratore è sempre negativo, la frazione è positiva se e solo se anche il denominatore è negativo. Poichè ti sei chiesto quando il denominatore è positivo, le soluzioni non sono quelle che hai determinato, piuttosto, l'intervallo complementare rispetto al campo di esistenza del denominatore. Ad ogni modo, ho l'impressione che tu stia affrontando questi esercizi meccanicamente, senza il dovuto ragionamento.

[mollydeep]

La ringrazio molto.
E' stato chiarissimo. Ora ho capito.

Grazie