Disequazione goniometriche

[anna.dit]

non mi viene il risultato di questa disequazione goniometrica:
$sen2x + cos 2x <1$ il risultato è $pi/4 +kpi ho proceduto così:
$2senx cosx + cos^2 x - sen^2 x < cos^2 x + sen^2 x$
$2senx cosx- 2sen^2 x<0$
$2senx(cosx-senx)<0$
studio il segno:
$senx>0$ $2kpi $cosx-senx>0$ ____________$-cosx+senx<0$__________$sen(x-45°)<0$________ $ pi+2kpi studiando il segno e prendendo quello negativo, viene:
$2kpi mi potete dare una mano? grazie

[giammaria2]

Arrivati a
$sin^2x-sinxcosx>0$
c'è anche una soluzione più rapida: escludendo per un momento i punti in cui il coseno si annulla, possiamo dire che è sempre $cos^2x>0$ e quindi possiamo dividere per questa grandezza, ottenendo
$tg^2x-tgx>0->tgx<0vvtgx>1$
Nei punti in cui il coseno si annulla la disequazione diventa $1>0$ ed è vera, quindi la soluzione è quella già scritta da TeM.

[anna.dit]

ma allora perchè a me non viene? il procedimento è simile...

[anna.dit]

"TeM":Ti sei perso proprio sul finale!! In ogni modo, vediamo di mettere un po' di ordine.
Si ha \[ \sin 2x + \cos 2x < 1 \; \; \Leftrightarrow \; \; \sin x\,\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) > 0 \] da cui segue \[ \sin x > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \; \; \; ; \; \; \; \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; \frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5}{4}\pi + 2k\pi \] per \(k\in \mathbb{Z}\).
A questo punto, però, occorre fare il prodotto dei segni, vedi qui. A noi interessa il segno positivo, quindi: \[ \frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \; \; \; \vee \; \; \; - \frac{3}{4}\pi + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi \; . \] Infine, notando che le due espressioni differiscono di un periodo pari a \(\pi\), possiamo "condensare" tale scrittura
in quella proposta dal tuo libro semplicemente dimezzando il periodo della prima espressione, ossia \[ Soluzione = \left\{ x\in\mathbb{R} : \frac{\pi}{4} + k\pi < x < \pi + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\} \; . \] Fine.

scusa, ma da dove prendi questa soluzione? \[ \- \frac{3}{4}\pi + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi \; . \]

[chiaraotta1]

Anche così....
Poiché
$sen2x + cos 2x =sqrt(2)sen(2x+pi/4)$,
la disequazione
$sen2x + cos 2x <1$
può essere riscritta come
$sqrt(2)sen(2x+pi/4) <1->sen(2x+pi/4) Le soluzioni sono
$3/4pi+2kpi<2x+pi/4<9/4pi+2kpi->$
$pi/2+2kpi<2x<2pi+2kpi->$
$pi/4+kpipi/4+kpi

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