Disequazione goniometrica in seno e coseno
Come posso risolvere una disequazione del tipo $3senx-sqrt(3)cosx<=0$?
Ho provato ad elevare tutto al quadrato, e mi viene $9sen^2x-6sqrt(3)senxcosx+3cos^2x>=0$. Ho risolto in tangente, e mi viene $tgx<=-sqrt(3)/3 V tgx>=sqrt(3)/3$. Il tutto, risolto con il metodo grafico della circonferenza goniometrica, mi dà come risultato l'arco $ \pi/6+2k\pi<=x<=5/6\pi+2k\pi$ escluso il valore $x=\pi/2+2k\pi$.
Per il testo invece i risultati sono ben altri, ossia l'arco compreso tra $0$ e $\pi/6$ e l'arco compreso tra $7/6\pi$ e $2\pi$.
Dove sbaglio?
Grazie anticipatamente. (P.S. Avevo già postato la disequazione nel topic precedente, ma mi è sembrato più opportuno continuare qui).
Ho provato ad elevare tutto al quadrato, e mi viene $9sen^2x-6sqrt(3)senxcosx+3cos^2x>=0$. Ho risolto in tangente, e mi viene $tgx<=-sqrt(3)/3 V tgx>=sqrt(3)/3$. Il tutto, risolto con il metodo grafico della circonferenza goniometrica, mi dà come risultato l'arco $ \pi/6+2k\pi<=x<=5/6\pi+2k\pi$ escluso il valore $x=\pi/2+2k\pi$.
Per il testo invece i risultati sono ben altri, ossia l'arco compreso tra $0$ e $\pi/6$ e l'arco compreso tra $7/6\pi$ e $2\pi$.
Dove sbaglio?
Grazie anticipatamente. (P.S. Avevo già postato la disequazione nel topic precedente, ma mi è sembrato più opportuno continuare qui).
Risposte
Non puoi elevare al quadrato una disequazione, rendi positivo anche quello che è negativo...
Segui piuttosto il consiglio di giammaria, dividendo tutto per $2 sqrt(3) $ , ottenendo :
$sen(pi/3) sen x -cos(pi/3) cos x <= 0 $ da cui $ cos((pi/3)+x ) >=0 $ .......
Segui piuttosto il consiglio di giammaria, dividendo tutto per $2 sqrt(3) $ , ottenendo :
$sen(pi/3) sen x -cos(pi/3) cos x <= 0 $ da cui $ cos((pi/3)+x ) >=0 $ .......
So di essere insistente, ma non ho capito poi come continuare il procedimento di giammaria....non c'è altro modo? Chiedo perchè mi sembra strano che questo procedimento il testo non lo porti (certo, non può portarli tutti, però...).
Arrivato a $cos((pi/3)+x)\geq0$ la domanda è: "quando il coseno è non negativo?"; al che la risposta è: "quando $-pi/2\leq\alpha\leq pi/2$ (a meno della periodicità)".
Wizard grazie per il tentativo di spiegarmi. Rivedrò il tutto quando sarò più lucido, ma davvero non mi è chiaro.
Per la formula di addizione del coseno si ha che $sin(pi/3)sin(x) - cos(pi/3)cos(x)=cos(pi/3+x)$, quindi la disequazione diventa $cos(pi/3 + x)\geq 0$; posto $\alpha=pi/3 + x$ risulta $cos(\alpha)\geq0$, da cui $-pi/2\leq\alpha\leq\pi/2$ e costituendo nuovamente ì...
Al punto in cui sei arrivato, ho sostituito ovviamente ad $\alpha$ il valore $\pi/3+x$, andando a risolvere le due disequazioni derivanti rispetto a $x$.
Come soluzioni mi trovo $x>=7/6\pi$ E $x<=\pi/6$. E quindi?
Come soluzioni mi trovo $x>=7/6\pi$ E $x<=\pi/6$. E quindi?
Il metodo usato da giammaria è detto " dell'angolo aggiunto ".
Per maggiori dettagli puoi vedere questo articolo scritto da me e da fireball :
https://www.matematicamente.it/appunti/t ... 708231068/
pag.9-11.
Per maggiori dettagli puoi vedere questo articolo scritto da me e da fireball :
https://www.matematicamente.it/appunti/t ... 708231068/
pag.9-11.
Leggendo l'articolo il procedimento mi è chiaro, ma è questo passaggio che, per quanto semplice, mi disturba:
giunti a $\pi/3+2k\pi
(Chiaramente parlo dell'esercizio preso a esempio nell'articolo)
giunti a $\pi/3+2k\pi
(Chiaramente parlo dell'esercizio preso a esempio nell'articolo)
Mi riferisco all'esercizio preso a esempio nell'articolo.
Si arriva a :$ pi/3+2kpi < t < 2pi/3+2kpi $ ma $t = x-pi/3 $ e quindi sostituendo e considerando separatamante le due disequazioni otteniamo:
A ) $pi/3+2kpi < x-pi/3 $ da cui $x > 2pi/3+2kpi $
B)$ x-pi/3 < 2pi/3 +2kpi $ da cui $ x < pi+2kpi $ e quindi alla fine la soluzione è :
$ 2pi/3+2kpi < x < pi+2kpi $ OK ?
Naturalmente si potrebbe anche scrivere in modo più compatto invece che $ pi+2kpi rarr (2k+1)pi $.
Si arriva a :$ pi/3+2kpi < t < 2pi/3+2kpi $ ma $t = x-pi/3 $ e quindi sostituendo e considerando separatamante le due disequazioni otteniamo:
A ) $pi/3+2kpi < x-pi/3 $ da cui $x > 2pi/3+2kpi $
B)$ x-pi/3 < 2pi/3 +2kpi $ da cui $ x < pi+2kpi $ e quindi alla fine la soluzione è :
$ 2pi/3+2kpi < x < pi+2kpi $ OK ?
Naturalmente si potrebbe anche scrivere in modo più compatto invece che $ pi+2kpi rarr (2k+1)pi $.
Allora, posto il procedimento e voi mi dite se va bene o meno:
parto dalla traccia $3senx-sqrt(3)cosx<=0$ e risolvo l'equazione associata $3senx-sqrt(3)cosx=0$. Da qui risolvo con l'angolo aggiunto: $r=sqrt(12)=2sqrt(3)$ e $tg\alpha=b/a$ da cui $\alpha=-\pi/6$.
Poi ovviamente scrivo $rsen(x+\alpha)=0$ e dunque $sen(x-\pi/6)=0$.
A questo punto scrivo $sen(x-\pi/6)<=0$ da cui $seny<=0$. $seny$ è minore o uguale di zero per $\pi+2k\pi<=x<=2\pi+2k\pi$ da cui chiaramente $\pi+2k\pi<=x-\pi/6<=2\pi+2k\pi$. Fin qui credo di esserci, voi che mi dite?
Arrivato a questo punto risolvo le due disequazioni:
$x-\pi/6>=\pi$ che mi dà $x>=7/6\pi$ e $x-\pi/6<=2\pi$ che mi dà $x<=13/6\pi$ ossia $x<=\pi/6$. (A meno della periodicità chiaramente.)
Ho queste soluzioni, che però non sono giuste: il risultato dato alla fine dell'esercizio è infatto l'arco compreso tra $0$ e $\pi/6$ e l'arco compreso tra $7/6\pi$ e $2\pi$. Ancora una volta ho sbagliato procedimento?
parto dalla traccia $3senx-sqrt(3)cosx<=0$ e risolvo l'equazione associata $3senx-sqrt(3)cosx=0$. Da qui risolvo con l'angolo aggiunto: $r=sqrt(12)=2sqrt(3)$ e $tg\alpha=b/a$ da cui $\alpha=-\pi/6$.
Poi ovviamente scrivo $rsen(x+\alpha)=0$ e dunque $sen(x-\pi/6)=0$.
A questo punto scrivo $sen(x-\pi/6)<=0$ da cui $seny<=0$. $seny$ è minore o uguale di zero per $\pi+2k\pi<=x<=2\pi+2k\pi$ da cui chiaramente $\pi+2k\pi<=x-\pi/6<=2\pi+2k\pi$. Fin qui credo di esserci, voi che mi dite?
Arrivato a questo punto risolvo le due disequazioni:
$x-\pi/6>=\pi$ che mi dà $x>=7/6\pi$ e $x-\pi/6<=2\pi$ che mi dà $x<=13/6\pi$ ossia $x<=\pi/6$. (A meno della periodicità chiaramente.)
Ho queste soluzioni, che però non sono giuste: il risultato dato alla fine dell'esercizio è infatto l'arco compreso tra $0$ e $\pi/6$ e l'arco compreso tra $7/6\pi$ e $2\pi$. Ancora una volta ho sbagliato procedimento?
$\pi+2k\pi<=x-\pi/6<=2\pi+2k\pi$ fino a qui tutto bene.
Te lo ricordi il primo principio di equivalenza per le equazioni che è uguale anche per le disequazioni?
Dice che puoi aggiungere o sottrarre ad ogni membro uno stesso numero e l'equazione (disequazione) ottenuta è equivalente a quella data.
Nel caso particolare aggiungo ai tre termini $pi/6$ e ottengo $\pi+pi/6+2k\pi<=x-\pi/6+pi/6<=2\pi+pi/6+2k\pi$ ovvero $7/6 pi+2k\pi<=x<=13/6pi+2k\pi$, che spezzandoli al primo giro diventano $7/6 pi+2k\pi<=x<=2 pi+2k pi$ e $0+2k\pi<=x<=pi/6+2k\pi$
Te lo ricordi il primo principio di equivalenza per le equazioni che è uguale anche per le disequazioni?
Dice che puoi aggiungere o sottrarre ad ogni membro uno stesso numero e l'equazione (disequazione) ottenuta è equivalente a quella data.
Nel caso particolare aggiungo ai tre termini $pi/6$ e ottengo $\pi+pi/6+2k\pi<=x-\pi/6+pi/6<=2\pi+pi/6+2k\pi$ ovvero $7/6 pi+2k\pi<=x<=13/6pi+2k\pi$, che spezzandoli al primo giro diventano $7/6 pi+2k\pi<=x<=2 pi+2k pi$ e $0+2k\pi<=x<=pi/6+2k\pi$
@amelia
Grazie mille....allora, fino a $7/6\pi+2k\pi<=x<=13/6\pi+2k\pi$ ci sono.
Per "spezzandoli al primo giro" cosa intendi? E'"inserire" le due disequazioni risultanti nell'intervallo tra $0$ e $2\pi$? C'è di più? O mi perdo ancora in un bicchiere d'acqua?
Grazie mille....allora, fino a $7/6\pi+2k\pi<=x<=13/6\pi+2k\pi$ ci sono.
Per "spezzandoli al primo giro" cosa intendi? E'"inserire" le due disequazioni risultanti nell'intervallo tra $0$ e $2\pi$? C'è di più? O mi perdo ancora in un bicchiere d'acqua?
Non c'è altro, stavolta l'hai azzeccata! 
Cavolo, per una volta! Beh se avessi ancora dei dubbi (anche se non so bene quali) su questo argomento, riposterò qui. Ciao e grazie!
Beh se avessi ancora dei dubbi (anche se non so bene quali) su questo argomento, riposterò qui. Ciao e grazie!
Scusa amelia ma volendo, non potevo lasciare la $x$ lì dov'era dopo aver aggiunto $\pi/6$? E' chiaro che è meglio trovarsi con il libro, ma sarebbe considerato "errore" non scindere il tutto nelle due disequazioni finali?
Mi piace l'espressione di @amelia : "spezzandoli al primo giro " , fa tanto F1 
Ecco la tua soluzione 
La curva blu è $3\sin x$, quella rossa è $\sqrt{3}\cos x$. Il segmento orizzontale in verde è la tua soluzione, cioè $3\sin x\le\sqrt{3}\cos x$
La curva blu è $3\sin x$, quella rossa è $\sqrt{3}\cos x$. Il segmento orizzontale in verde è la tua soluzione, cioè $3\sin x\le\sqrt{3}\cos x$
Ah, per conoscere i punti d'intersezione ti basta mettere a sistema le due curve, cioè risolvere l'equazione $3\sin x=\sqrt{3}\cos x$, alla quale puoi applicare tutti i quadrati che vuoi
"TR0COMI":C'è, anzi ce ne sono due; mi stupisce che nessuno li abbia suggeriti.
....non c'è altro modo?
Primo metodo: usa le formule parametriche (ovvio, se le conosci); posto $t=tg \frac x 2$; risolvi prima la disequazione di secondo grado e poi quelle goniometriche in tangente
Secondo metodo: la tua disequazione è omogenea oltre che lineare e quindi puoi usare il metodo delle omogenee. Non puoi dividere per cos x perchè non ne conosci il segno, ma puoi metterlo in evidenza ottenendo $cos x (3 tg x-\sqrt 3) \le0$; imponi poi che i due fattori siano maggiori o uguali a 0 e scegli le zone in cui i segni sono diversi.
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