Disequazione goniometrica elementare

[cecco....]

la seguente disequazione 2sen2x-radice di 3

[BIT5]

E'

[math] 2 \sin (2x) [/math]

o

[math] 2 \sin^2 x [/math]

?

Aggiunto 48 minuti più tardi:

[math] 2 \sin (2x) - \sqrt3 < 0 [/math]

Banalmente dunque avremo

[math] \sin(2x) < \frac{\sqrt3}{2} [/math]

Sappiamo che il seno e'

[math] < \frac{\sqrt3}{2} [/math]

quando l'angolo e':

a) compreso tra 0 e 60 (0 compreso)

Quindi

[math] 0 + 2k \pi \le 2x < \frac{\pi}{3}+2k \pi \to k \pi \le x < \frac{\pi}{6}+k \pi [/math]

Inoltre quando e' compreso tra 120 e 360 (360 compreso)

[math] \frac23 \pi +2k \pi < 2x \le 2 \pi +2k \pi \to \frac13 \pi + k \pi < x \le \pi + k \pi [/math]

Siccome il testo vuole tutte le soluzioni da 0 a 2pigreco, dobbiamo cosniderare:

Il periodo delle soluzioni e' pigreco.

La prima soluzione si ripete completamente ancora nel primo angolo giro (per k=1) quindi dobbiamo aggiungere:

[math] \pi \le x < \frac{\pi}{6} + \pi \to \pi \le x < \frac76 \pi [/math]

e per la seconda (sempre per k=1)

[math] \frac13 \pi + \pi < x \le \pi + \pi \to \frac43 \pi < x \le 2 \pi [/math]

La soluzione finale quindi sara' l'unione delle precedenti:

[math] 0 \le x < \frac{\pi}{6} \ U \ \frac{\pi}{3} < x < \frac76 \pi \ U \ \frac43 \pi < x \le 2 \pi [/math]

Aggiunto 20 ore 11 minuti più tardi:

Siamo, come richiesto dal problema, nell'intervallo 0, 2pigreco.

Le soluzioni, come hai visto, su tutti i reali, verrebbero coinvolte tutte grazie alla presenza del periodo.

infatti dire, ad esempio, x= pigreco/3 + 2 k pigreco significa considerare tutti gli angoli che, sostituendo a k i valori interi (positivi e negativi) si possano trovare:

ovvero:

k=0 ==> x=pigreco\3
k=1 ==> x= pigreco/3 + 2 pigreco = 7/6 pigreco (che e' lo stesso identico angolo, preso dopo "un giro" completo della circonferenza goniometrica;
k=2 ==> x= pigreco/3 + 4 pigreco = 25/3 pigreco
E cosi' via.

Dal momento che nell'esercizio hai l'imposizione di prendere le soluzioni solo nel primo giro (ovvero da 0 a 2 pigreco) le soluzioni non puoi scriverle semplicemente con il periodo, perche' coinvolgi soluzioni che vanno "fuori" dall'intervallo richiesto.

Quindi si tratta di studiare le soluzioni nel primo angolo giro.
Per k=0 le soluzioni stanno nel primo angolo giro
Per k=1 anche (ovvero ottieni intervalli che stanno nel primo angolo giro)
per k=2 invece ottieni intervalli che escono da 0 a 2 pigreco.

Quindi puoi procedere in due modi.

O come ti ho suggerito io (ovvero per "tentativi". In fondo l'intervallo della soluzione, essendo abbastanza ampio, era prevedibile potesse ripetersi una o al massimo due volte nel primo angolo giro)

Oppure trovare i valori di k per cui la disequazione genera risultati nel primo angolo giro.

Provo a spiegarmi meglio, con un esempio:

Supponi di aver risolto una disequazione e di aver trovato come soluzione

[math] \frac16 \pi + \frac12 k \pi < x < \frac13 \pi + \frac12 k \pi [/math]

E di dover trovare tutti i valori compresi nel primo angolo giro, ovvero in

[math] [0,2 \pi ] [/math]

Lasciare la soluzione come scritta sopra, dal momento che

[math] k \in \mathbb{Z} [/math]

coinvolge intervalli anche al di fuori.

Allora puoi procedere cosi':

o sostituisci a k i valori (ovviamente positivi o nullo) e controlli che l'intervallo restituito sia ancora compreso in

[math] [0,2 \pi ] [/math]

Oppure poni:

[math] k \ge 0 [/math]

siamo in un intervallo positivo (se avessimo dovuto cercare le soluzioni ad esempio, nell'intervallo

[math] [-2 \pi, 0] [/math]

avremmo subito concluso che k dovrebbe essere negativo

[math] \frac16 \pi + \frac12 k \pi \le 2 \pi \to \frac12 k \pi \le \frac{11}{6} \pi \to k \le \frac{11}{3} [/math]

e pertanto, dal momento che k e' intero, sara' k massimo = 3

Per il secondo estremo avremo:

[math] \frac13 \pi + \frac12 k \pi \le 2 \pi \to k \le \frac{10}{3}[/math]

anche qui dunque k massimo sara' 3.

Pertanto le soluzioni andranno scritte considerando o i valori di k ammessi (0,1,2,3) sostituendoli alla soluzione, oppure:

[math] \frac16 \pi + \frac12 k \pi < x < \frac13 \pi + \frac12 k \pi \ , k = \{ 0, 1, 2, 3 \}[/math]

Ancora possiamo dire che se avessimo trovato valori discordi di k, avremmo dovuto considerare solo k piu' piccolo. Significherebbe che l'intervallo della soluzione, preso piu' volte, non e' interamente contenuto nell'intervallo di studi.

Ad esmepio se avessimo trovato come soluzione:

[math] \frac34 \pi + k \pi < x < \frac32 \pi + k \pi [/math]

da discutere in

[math] [0, 2 \pi ] [/math]

Con il procedimento descritto avremmo trovato (posta dunque la soluzione