Disequazione goniometrica di primo grado

[cocobax]

aiuto non mi ricordo più come si risolve questo tipo di disequazioni!
grazie in anticipo
$cosx+$$sqrt(3)$$senx-$$sqrt(3)$$>0$

[Studente Anonimo]

"cocobax":aiuto non mi ricordo più come si risolve questo tipo di disequazioni!
grazie in anticipo
$cosx+$$sqrt(3)$$senx-$$sqrt(3)$$>0$

La strategia standard è... dividere per $2$

[cocobax]

non ci riesco ad arrivare... si può risolvere sostituendo $senx$=$sqrt(1-cos^2x)$? c'è un modo più rapido?

[Studente Anonimo]

La sostituzione da te proposta ha due difetti:

- non si puo' fare (dato che a priori potrebbe benissimo essere $sin x = - sqrt(1-cos^2 x)$);
- non ti porta molto lontano (avresti a che fare con un'equazione orribile piena di radici).

Questo tipo di esercizio è costruito su misura per eseguire il seguente procedimento: dividendo per 2 ottieni

$1/2 cosx+sqrt(3)/2 sinx-sqrt(3)/2>0$

Ora scrivi $1/2 = cos(pi/3)$ e $sqrt(3)/2 = sin(pi/3)$. Ottieni

$cos(pi/3) cosx+sin(pi/3) sinx > sqrt(3)/2$.

Ti viene in mente niente?

[cocobax]

"Martino":La sostituzione da te proposta ha due difetti:

- non si puo' fare (dato che a priori potrebbe benissimo essere $sin x = - sqrt(1-cos^2 x)$);
- non ti porta molto lontano (avresti a che fare con un'equazione orribile piena di radici).

Questo tipo di esercizio è costruito su misura per eseguire il seguente procedimento: dividendo per 2 ottieni

$1/2 cosx+sqrt(3)/2 sinx-sqrt(3)/2>0$

Ora scrivi $1/2 = cos(pi/3)$ e $sqrt(3)/2 = sin(pi/3)$. Ottieni

$cos(pi/3) cosx+sin(pi/3) sinx > sqrt(3)/2$.

Ti viene in mente niente?

non ho mai risolto così ... comunque ora ricordo... sostituivo $senx=y$ e $cosx=x$ e trovavo le intersezioni della retta con la circonferenza $x^2+y^2=1$... più o meno dovrebbe essere così ora provo

[Studente Anonimo]

"cocobax":comunque ora ricordo... sostituivo $senx=y$ e $cosx=x$ e trovavo le intersezioni della retta con la circonferenza $x^2+y^2=1$... più o meno dovrebbe essere così ora provo

Questa è una possibilità.

Invece quella che proponevo io è di arrivare a scrivere

$cos(pi/3) cos x + sin (pi/3) sin x > sqrt(3)/2$

e quindi utilizzando la seguente formula: $cos(alpha-beta) = cos(alpha)cos(beta)+sin(alpha)sin(beta)$ ottenere

$cos(x-pi/3)>sqrt(3)/2$

che chiamando $y=x-pi/3$ diventa $cos(y)>sqrt(3)/2$, che è elementare.

Ti conviene tenere a mente questo procedimento, è abbastanza indolore

Ciao.

[cocobax]

non la conoscevo questa formula grazie mille

[cocobax]

scusa ancora sul libro la soluzione indica $x$ compreso tra $\pi/6$ e $\pi/2$.... $\pi/2$ da dov'è uscito?

[Studente Anonimo]

"cocobax":scusa ancora sul libro la soluzione indica $x$ compreso tra $\pi/6$ e $\pi/2$.... $\pi/2$ da dov'è uscito?

Se fai il grafico dovrebbe risultarti no?

Col mio procedimento risulterebbero da $cos(x-pi/3)>sqrt(3)/2$ le seguenti soluzioni:

$-pi/6 < x-pi/3 < pi/6$ (modulo $2 pi$)

sommando $pi/3$ da per tutto ottieni

$-pi/6+pi/3 < x < pi/6+pi/3$ (modulo $2 pi$)

ovvero

$pi/6 < x < pi/2$ (modulo $2 pi$)

Se procedi col metodo grafico (cioè quello che proponevi) ti deve venire lo stesso risultato. Prova a controllare se magari non hai fatto qualche errore di distrazione.

[kekko989]

martino..ma questo procedimento è valido in questo caso perchè c'era la radice di tre giusto?? Non è facile individuare subito se bisogna dividere per qualcosa.. io avrei subito optato per le parametriche..eheh

[Steven11]

"kekko89":martino..ma questo procedimento è valido in questo caso perchè c'era la radice di tre giusto?? Non è facile individuare subito se bisogna dividere per qualcosa.. io avrei subito optato per le parametriche..eheh

Questo procedimento è valido sempre, in questo caso diciamo che era valido più delle altre volte
Infatti avendo
$asinx+bcosx=c$
dividendo ambo i membri per $sqrt(a^2+b^2)$ ottengo
$a/sqrt(a^2+b^2)sinx+b/sqrt(a^2+b^2)cosx=c/sqrt(a^2+b^2)$
e si verifica facilmente che
i due fattori $a/sqrt(a^2+b^2)$ e $b/sqrt(a^2+b^2)$ sono il seno e il coseno di un angolo, giacché la somma dei loro quadrati fa $1$.
Quindi si ha
$sinalphasinx+cosalphacosx=c/sqrt(a^2+b^2)$
(o sennò potete anche invertire $sinalpha$ e $cosalpha$, cambia nulla).
E' un modo utile per riscrivere funzioni come
$f(x)=asinx+bcosx$
in modo che compaia solo un seno o solo un coseno.

Detto questo, se vi va, calcolate il massimo e il minimo della funzione
$f(x)=5cosx+12sinx$
SENZA ricorrere alle derivate.

Ciao.

[Studente Anonimo]

"kekko89":martino..ma questo procedimento è valido in questo caso perchè c'era la radice di tre giusto?? Non è facile individuare subito se bisogna dividere per qualcosa.. io avrei subito optato per le parametriche..eheh

Steven ti ha esaurientemente risposto