Disequazione goniometrica
Ciao a tutti. Avrei una disequazione da sottoporvi
$(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
Potreste aiutarmi?
Grazie
E' possibile, data la mia inesperienza nell'utilizzo del forum, che abbia postato più volte la mia richiesta, scusate.
$(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
Potreste aiutarmi?
Grazie
E' possibile, data la mia inesperienza nell'utilizzo del forum, che abbia postato più volte la mia richiesta, scusate.
Risposte
"Guerrera":
Ciao a tutti. Avrei una disequazione da sottoporvi
$(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
Potreste aiutarmi?
Grazie
Ciao.
Anzitutto ti invito a fare qualche considerazione sulla disequazione data. E' una fratta. Dunque dovresti studiare separatamente il num e il den, giusto?
Ora però dai un'occhiata attenta al denominatore: esso è la somma di due quantità sempre positive, vero? Dunque che cosa si può dire?
Dopo aver fatto questi ragionamenti, puoi studiare il numeratore: $sin2x>=tanx$ Esistono diversi modi, non so quale tu debba/preferisca usare, ma - se sei capace - suggerirei lo studio sul grafico delle funzioni (insomma, disegni in uno stesso riferimento cartesiano le curve $y=sin2x$ e $y=tanx$; trovi i punti in cui si intersecano e poi vai a vadere dove il grafico del seno sta "sopra" quello della tangente).
E' un po' più chiaro? Spero di esserti stato utile. Se hai bisogno posta pure.
Ciao,
Paolo
In effetti era successo, ma non preoccuparti che ho già sistemato.
Venendo all'esercizio
Che cosa sei riuscito/a a fare? a che punto nascono delle difficoltà?
Venendo all'esercizio
Che cosa sei riuscito/a a fare? a che punto nascono delle difficoltà?
Grazie per la velocità con cui avete risposto.
Io ho affrontato la disequazione nel seguente modo, fermo restando che poi avrei studiato numeratore e denominatore separatamente ponedoli rispettivamente maggiore uguale e maggiore di zero.
$(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
$(((senx)/(cosx))(2cos^2x-1))/(((1+2cos^2x)/(sen^2x)))<=0$
$((sen^3x)(2cos^2x-1))/((cosx)(1+2cos^2x))<=0$
oppure
$((sen^3x)(cos^2x-sen^2x))/((cosx)(1+2cos^2x))<=0$
a questo punto credevo che ci fosse un metodo a me oscuro per ridurre ulteriormente la disequazione, che in effetti sembrava molto più facile nel testo.
No non ho pensato di risolverla solo graficamente perchè non mi raccapezzo con il $sen2x$ ne sinceramente con tutti le funzioni che hanno l'argomento doppio o triplo.
Certo Paolo è lampante che un quadrato sommato ad un numero positivo è sempre maggiore di zero, talmente chiaro che non l'ho visto finchè non me lo hai fatto notare, sigh!...
Cosa aggiungere? Non riesco a risolverla! Però posso darvi il risultato,eheheh,
$-(\pi/4)+k(\pi/2)<=x<=(\pi/2)+k(\pi/2)$
Io ho affrontato la disequazione nel seguente modo, fermo restando che poi avrei studiato numeratore e denominatore separatamente ponedoli rispettivamente maggiore uguale e maggiore di zero.
$(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
$(((senx)/(cosx))(2cos^2x-1))/(((1+2cos^2x)/(sen^2x)))<=0$
$((sen^3x)(2cos^2x-1))/((cosx)(1+2cos^2x))<=0$
oppure
$((sen^3x)(cos^2x-sen^2x))/((cosx)(1+2cos^2x))<=0$
a questo punto credevo che ci fosse un metodo a me oscuro per ridurre ulteriormente la disequazione, che in effetti sembrava molto più facile nel testo.
No non ho pensato di risolverla solo graficamente perchè non mi raccapezzo con il $sen2x$ ne sinceramente con tutti le funzioni che hanno l'argomento doppio o triplo.
Certo Paolo è lampante che un quadrato sommato ad un numero positivo è sempre maggiore di zero, talmente chiaro che non l'ho visto finchè non me lo hai fatto notare, sigh!...
Cosa aggiungere? Non riesco a risolverla! Però posso darvi il risultato,eheheh,
$-(\pi/4)+k(\pi/2)<=x<=(\pi/2)+k(\pi/2)$
"Guerrera":
Grazie per la velocità con cui avete risposto.
Io ho affrontato la disequazione nel seguente modo, fermo restando che poi avrei studiato numeratore e denominatore separatamente ponedoli rispettivamente maggiore uguale e maggiore di zero.
$(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
$(((senx)/(cosx))(2cos^2x-1))/(((1+2cos^2x)/(sen^2x)))<=0$
......
Certo Paolo è lampante che un quadrato sommato ad un numero positivo è sempre maggiore di zero, talmente chiaro che non l'ho visto finchè non me lo hai fatto notare, sigh!...
Cosa aggiungere? Non riesco a risolverla! Però posso darvi il risultato,eheheh,
$-(\pi/4)+k(\pi/2)<=x<=(\pi/2)+k(\pi/2)$
da $(sen2x-tgx)/(cotg^2x+3)<=0$
la forma più semplice da cui partire è la seguente:
$(((senx)/(cosx))(2cos^2x-1))/(cotg^2x+3)<=0$
puoi interpretarla anche come $(tgx*cos(2x))/(cotg^2x+3)<=0$, ma è alquanto indifferente.
nella disequazione originaria c'è la presenza di tangente e cotangente, per cui vanno escluse comunque soluzioni per cui il seno o il coseno sono uguali a zero
($kpi/2$). il denominatore è comunque maggiore di zero, come ti è già stato fatto notare, per cui ti consiglio di studiare i segni dei singoli fattori "sulla circonferenza goniometrica", per poi fare il prodotto dei segni.
come preferisci: $senx>0$, $cosx>0$, $cos^2x>=1/2$, oppure $tgx>0$, $cos(2x)>=0$, con le condizioni $senx !=0$, $cosx !=0$.
quanto alle risoluzioni con il seno o il coseno di 2x, puoi risolverle a parte graficamente rispetto a 2x e poi dividere tutto per due...
prova e facci sapere.
Ok, ho preso il libro è ho studiato la rappresentazione grafica della funzione ponendo due condizioni, sperando che siano giuste
1- denominatore sempre >0 ( ovvero: non cambierà il segno della funzione essendo sempre posititvo)
2- $y=sen2x$, quindi se non erro $sen2x=sen(x+x)rArrx=-x$
Ora, se è vero che devo studiare la funzione di $sen(-x)<=tgx$, dal grafico risulta che il $sen(-x)$ è minore della $tgx$ nell'intervallo $0<=x<\pi/2$ e non c'è mai intersezione tra le due funzioni.
$sen(-x)$ risulta negativo anche tra $\pi/2<=x<\pi$;in quest'intervallo la tangente assume solo valori da $-\infty$ a $0$, quindi considerando la circonferenza trigoniometrica direi che non esiste la funzione $tgx$ se non tra $(3\pi/4)
Allora che faccio?
Mi sono confusa, probabilmente ho fatto delle considerazioni sbagliate già in partenza.
Per favore spiegatemi come si fa, grazie.
Ciao.
1- denominatore sempre >0 ( ovvero: non cambierà il segno della funzione essendo sempre posititvo)
2- $y=sen2x$, quindi se non erro $sen2x=sen(x+x)rArrx=-x$
Ora, se è vero che devo studiare la funzione di $sen(-x)<=tgx$, dal grafico risulta che il $sen(-x)$ è minore della $tgx$ nell'intervallo $0<=x<\pi/2$ e non c'è mai intersezione tra le due funzioni.
$sen(-x)$ risulta negativo anche tra $\pi/2<=x<\pi$;in quest'intervallo la tangente assume solo valori da $-\infty$ a $0$, quindi considerando la circonferenza trigoniometrica direi che non esiste la funzione $tgx$ se non tra $(3\pi/4)
Allora che faccio?
Mi sono confusa, probabilmente ho fatto delle considerazioni sbagliate già in partenza.
Per favore spiegatemi come si fa, grazie.
Ciao.
2- $y=sen2x$, quindi se non erro $sen2x=sen(x+x)rArrx=-x$
Ora, se è vero che devo studiare la funzione di $sen(-x)<=tgx$, dal grafico risulta che il $sen(-x)$ è minore della $tgx$ nell'intervallo $0<=x<\pi/2$ e non c'è mai intersezione tra le due funzioni.
non capisco cosa tu voglia dire in queste poche righe, comunque ti ho cosigliato di partire dalla trasformazione che avevi fatto prima al numeratore, che ti porta ad un risultato piuttosto semplice. scegli tra le due alternative che ti ho proposto nel messaggio precedente, e ti aiuterò. ciao.
Ciao adaBTTLS, ho fatto come mi avevi suggerito, ponendo ogni prodotto >0 e si, è riuscita. Io l'ho studiata per l'intervallo zero, 2pi greco quindi ho ottenuto iquattro risultati; se avessi letto prima il tuo post o se solo avessi tenuto conto che potevo operare senza semplificare ulteriormente mi sarei risparmiata tanta fatica inutile, sigh.
Comunque quello che volevo sapere con quel panegirico era riferito alla rappresentazione grafica della funzione sen2x, ovvero la fuzione$y=sen2x$ ha la stessa rappresentazione grafica della funzione $y=sen(-x)$ ?
La mia ipotesi prevedeva che fosse così.
Ma poco male, vi ringrazio molto, siete stati preziosi
Ciao a presto.
Comunque quello che volevo sapere con quel panegirico era riferito alla rappresentazione grafica della funzione sen2x, ovvero la fuzione$y=sen2x$ ha la stessa rappresentazione grafica della funzione $y=sen(-x)$ ?
La mia ipotesi prevedeva che fosse così.
Ma poco male, vi ringrazio molto, siete stati preziosi
Ciao a presto.
la risposta alla domanda sulle due funzioni è "decisamente no!". per la funzione $sen(2x)$ considera che rispetto a $senx$ è "più veloce", nel senso che ha un periodo più piccolo (la metà, cioè $pi$), prova a disegnare senx e a trovare per punti sen(2x).
per $sen(-x)$, considera che $sen(-x)=-senx$, e dunque è opposta a senx, quindi i grafici delle due funzioni sono tra loro simmetrici rispetto all'asse x, ma anche rispetto all'asse y (perché sen(-x) è ottenuta da senx "scambiando i valori di ascisse opposte", spero si capisca). in realtà senx e sen(-x) sono simmetriche ciascuna rispetto all'origine essendo funzioni dispari: $sen(-x)=-sen(x)$, che si legge anche al contrario: $sen(+x)=-sen(-x)$. spero sia chiaro. ciao.
per $sen(-x)$, considera che $sen(-x)=-senx$, e dunque è opposta a senx, quindi i grafici delle due funzioni sono tra loro simmetrici rispetto all'asse x, ma anche rispetto all'asse y (perché sen(-x) è ottenuta da senx "scambiando i valori di ascisse opposte", spero si capisca). in realtà senx e sen(-x) sono simmetriche ciascuna rispetto all'origine essendo funzioni dispari: $sen(-x)=-sen(x)$, che si legge anche al contrario: $sen(+x)=-sen(-x)$. spero sia chiaro. ciao.
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