Disequazione Goniometrica

[smemo89]

Ciao a tutti. Non so se ho risolto bene questa disequazione di Trigonometria: $senx(2cosx-1)>0$. Allora io non ho moltiplicato, ma bensì ho fatto: $senx>0$ e $2cosx-1>0$ , quindi: $cosx>1/2$ . Poi ho disegnato la circonferenza e mi sono trovato questi valori come soluzioni finali: $0

[_Tipper]

Quelle che hai trovato tu sono le soluzioni di, rispettivamente, $\sin(x) > 0$ e $\cos(x) > \frac{1}{2}$. Per studiare la soluzione della disequazione devi usare la regola dei segni. Ovvero, nell'intervallo $0 < x < 60$ si ha che $\sin(x)$ è positivo mentre $2 \cos(x) - 1$ è negativo, quindi in tale intervallo il prodotto $\sin(x) (2\cos(x) - 1)$ è negativo. Viceversa, in $60 < x < 180$, i due fattori sono entrambi positivi, in questo intervallo la disequazione è soddisfatta. In $180 < x < 300$ è un fattore è positivo, l'altro è negativo, qui la disequazione non è soddisfatta. Infine, per $180 < x < 300$, entrambi i fattori sono negativi, pertanto in questo intervallo la disequazione è soddisfatta.
Pertanto, restringendo $x$ fra $0$ e $360$, la soluzione della disequazione è

$60 < x < 180 \quad \vee \quad 300 < x < 360$

[smemo89]

Ciao. Purtoroppo, nelle disequazioni che ho fatto finora mi ero sempre fermato lì, cioè alle soluzioni che mi ero trovato prima. Tu che dici è impossibile oppure normalmente ci si può fermare anche in quel punto? Ciao & Scusami.

[_Tipper]

Anzitutto non ti devi scusare di nulla. Se tu dovessi studiare una disequazione del tipo $x(x-1) > 0$, come faresti? Non basta fermarsi a $x>0$, $x>1$. E in questi casi è uguale, dopo aver studiato il segno dei singoli fattori va studiato il segno del prodotto.

[smemo89]

Ok. Forse in questo caso è così perche normalmente la dovrei risolvere partendo con la moltiplicazione iniziale? Che dici così evito più passaggi?

[_Tipper]

Non capisco cosa intendi con 'partendo dalla moltiplicazione iniziale'... Puoi farmi vedere come faresti?

[smemo89]

Intendo così: $2senxcosx-senx>0$ . Poi dividerei tutto per cosx e mi torverei la disequazione in tangente. Tu che dici così è completamente sbagliato? Poi vorrei farti una domanda: allora per le disequazioni di secondo grado, quindi non in questa che stiamo facendo, il grafico senza discussione si fa solo quando sono discordi, mentre quando sono concordi non si fa il grafico, mentre per le fratte si fa il grafico e la discussione? E' esatto così?

[_Tipper]

Forse ho male interpretato ciò che avevi scritto al primo post, ma ora che ci facio attenzione $\cos(x) > \frac{1}{2}$ per $0 \le x < 60 \quad \vee \quad 300 < x \le 360$. Pertanto la soluzione della disequazione è $0 < x < 60 \quad \vee \quad 300 < x < 360$.

[_Tipper]

"smemo89":Intendo così: $2senxcosx-senx>0$ . Poi dividerei tutto per cosx e mi torverei la disequazione in tangente. Tu che dici così è completamente sbagliato?

A che serve dividere per $\cos(x)$? Al più si può dividere per $\sin(x)$, ma devi stare attento a una cosa, ovvero che la disequazione diventerebbe


$2 \cos(x) - 1 > 0$ se $\sin(x) > 0$

$2 \cos(x) - 1 < 0$ se $\sin(x) < 0$

[smemo89]

Ok. Invece per la domanda che ti ho fatto?

[_Tipper]

Quando si hanno frazioni, o comunque un prodotto scomposto in fattori, conviene sempre fare il grafico per studiare il segno.

[smemo89]

Ok. Anche le altre cose che ho detto sono esatte?

[_Tipper]

Sì, anche se pure questa disequazione mi sembra di secondo grado...

[smemo89]

Perchè dove stanno i termini di secondo grado?

[_Tipper]

$\sin(x) \cos(x)$, ad esempio...

[smemo89]

Ma perchè i termini di secondo grado non sono ad esempio $sen^2x$ , $cos^2x$ , $tg^2x$ e così via? Poi un'altra domanda: se ho una disequazione di primo grado basta vedere come soluzioni solo quelle che riesco a vedere nel disegno della circonferenza? Cioè non devo fare nessun grafico con la retta? Vero?

[_Tipper]

"smemo89":Ma perchè i termini di secondo grado non sono ad esempio $sen^2x$ , $cos^2x$ , $tg^2x$ e così via?

Certo, sono i termini dati dal prodotto di due termini di primo grado.

[_Tipper]

"smemo89":Poi un'altra domanda: se ho una disequazione di primo grado basta vedere come soluzioni solo quelle che riesco a vedere nel disegno della circonferenza? Cioè non devo fare nessun grafico con la retta? Vero?

Sì, basta la circonferenza goniometrica.

[smemo89]

Ok. Ricapitolando: quindi anche il prodotto, ad esempio tra $cosx$ e $senx$ ci porta a un termine di secondo grado?

[_Tipper]

Sì, è il prodotto fra due termini di primo grado. È come $xy$, che, anche se l'apparenza potrebbe ingannare, è un monomio di secondo grado.

Comunque, nel caso di funzioni trigonometriche, puoi portarti da grado 2 a grado 1, raddoppiando l'angolo. Cioè, da $\sin(x) \cos(x)$ puoi portati a $\frac{\sin(2x)}{2}$, da $\cos^2(x)$ puoi portarti a $\frac{1 + \cos(2x)}{2}$, e così via...

[smemo89]

Ok. Grazie Tantissimo per la tua enorme pazienza e per la tua enorme disponibilità e Complimenti per le Tue Conoscenze in Matematica. Ancora Grazie & Ciao.