Disequazione Goniometrica

[smemo89]

Ciao a Tutti. Non so se ho risolto bene questa disequazione: $sen2x+cosx<0$. Allora svolgendo mi è venuto dal "1° grafico" mi è venuto: $90

[_Tipper]

Dato che $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ la disequazione si può riscrivere come

$2 \sin(x) \cos(x) + \cos(x) < 0$

$\cos(x) (2 \sin(x) + 1) < 0$

$\cos(x) > 0$ per $2 k \pi \le x <\frac{\pi}{2} + 2 k \pi \quad \vee \quad \frac{3}{2} \pi + 2 k \pi < x \le 2 \pi + 2 k \pi$

$\sin(x) > - \frac{1}{2}$ per $2 k \pi \le x < \frac{7}{6} \pi + 2 k \pi \quad \vee \quad \frac{11}{6} \pi + 2 k \pi < x \le 2 \pi + 2 k \pi$

Fai lo studio dei segni e prendi l'intervallo, o gli intervalli, in cui si ha negatività.

[smemo89]

Ciao. Scusa, ma il mio problema è che non ho mai usato i radianti, quindi quello che hai scritto non mi è molto chiaro. Grazie & Scusami.

[smemo89]

Allora. Ho capito il mio errore. Quindi mi ritrovo con $senx=1/2$ e quindi $180

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[_Tipper]

Non ho capito bene quello che intendi, provo a riscriverti tutto in gradi, senza periodicità

"Tipper":Dato che $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ la disequazione si può riscrivere come

$2 \sin(x) \cos(x) + \cos(x) < 0$

$\cos(x) (2 \sin(x) + 1) < 0$

$\cos(x) > 0$ per $0 \le x < 90 \quad \vee \quad 270 < x \le 360$

$\sin(x) > - \frac{1}{2}$ per $0 \le x < 210 \quad \vee \quad 330 < x \le 360$

Fai lo studio dei segni e prendi l'intervallo, o gli intervalli, in cui si ha negatività.

[smemo89]

Scusami. Perchè se il testo è minore, devo fare poi maggiore? Cioè $cosx>0$ e $senx> -1/2$ , mentre il segno della disequazione di partenza è minore. Ciao.

[tata901]

scusate mi servirebbe sapere come fate a scrivere le equazioni in quel modo. grazie tante

[smemo89]

"tata90":scusate mi servirebbe sapere come fate a scrivere le equazioni in quel modo. grazie tante

Ciao. Vedi quì: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6286 . Ciao.

[_Tipper]

Studiandole con il maggiore, puoi vedere in quali intervalli ogni fattore è positivo e in quali è negativo (lo potresti fare anche con il minore, basta stare attenti a ciò che si fa). È un po' come si fa quando si studia il segno delle frazioni.
Gli intervalli che soddisfano la disequazione sono quelli in cui i due fattori sono discordi.

[smemo89]

Ok. Grazie. Scusa un'ultima domanda: Ho sempre dei problemi quando risolvo le disequazioni goniometriche, soprattutto quando arrivo nella parte finale. Allora come primo passaggio devo svolgere l'equazione, poi devo vedere le soluzioni e disegnare la circonferenza. Dopo questo vedo i valori che mi interessano e poi faccio il grafico (la retta) e prendo i valori positivi se il testo originale della disequazione è positivo, mentre prendo i valori negativi se il segno originale della disequazione è negativo. A questo punto, però non capisco a cosa serve il fatto che sono concordi o discordi. Comunque so quando sono concordi e quando sono discordi, ma il problema è che dopo aver visto questo non so come comportarmi, non so che fare. Mi potresti spiegare, quindi un pò i passaggi? Grazie & Scusami se sto approfittando della tua enorme pazienza. Grazie & Ciao.

[_Tipper]

I passaggi li ho fatti tutti, ora non ti resta che disegnare, per ogni fattore, un grafico in cui riporti il segno per ogni intervallo.

[smemo89]

Ok. L'esercizio ora mi è chiaro, ma io mi riferivo ai passaggi da fare in generale in una disequazione goniometrica (sia di primo grado che di secondo). Cioè i passaggi che ho detto nel post precedente sono esatti oppure mi sono dimenticato qualche passaggio da fare?

[_Tipper]

Se è di primo grado, di solito, si cerca la soluzione graficamente, disegnando la circonferenza goniometrica e la retta. Se è di secondo grado dipende: può essere utile scomporre in fattori, può essere utile usare le formule di bisezione, dipende da com'è fatta la disequazione.

[smemo89]

No, questo mi è chiaro. Io dico dopo che mi sono trovato le soluzioni. Cioè una volta che mi sono trovato $senx=$ , $cosx=$ . Quindi mi potresti vedere e correggere quello che scritto prima? Grazie & Scusami Ancora.

[_Tipper]

Perdona la mia durezza, ma non ho capito dove sta il problema...

[_Tipper]

Forse ti trovi in difficoltà quando devi determinare per quali $x$ vale $\sin(x) > \frac{1}{2}$, ad esempio?

[smemo89]

Scusami. Forse sono io che non mi sono spiegato. Mi potresti dire tutti i passaggi che devo fare per svolgere una diseguazione goniometrica? Per passaggi però non intendo quelli che mi portano alle soluzioni iniziali (tipo senx= , cosx= ) , quindi non intendo le formule parametriche, le formule di bisezione e così via. Non so se mi sono spiegato, cioè dico quei passaggi che devo fare dopo aver disegnato la circonferenza e così via.

[_Tipper]

Nel caso di questa disequazione c'era da studiare $\cos(x) > 0$ e $\sin(x) > - \frac{1}{2}$.

Conviene risolverle graficamente: per $\cos(x) > 0$



e da qui si capisce che $\cos(x) > 0$ per $0 \le x < 90 \quad \vee \quad 270 < x \le 360$.

Per $\sin(x) > -\frac{1}{2}$



da cui si capisce che $\sin(x) > -\frac{1}{2}$ per $0 \le x < 210 \quad \vee \quad 330 < x \le 360$.

[smemo89]

Ok. Invece dovevo vedere se erano concordi o discordi se la disequazione goniometrica era di secondo grado? Se si, una volta capito se sono discordi o se sono concordi che cosa devo fare?

[_Tipper]

Nel caso di questa disequazione, una volta studiato il segno dei singoli fattori, costruisci questo grafico



e si vede che la soluzione è $90 < x < 210 \quad \vee \quad 270 < x < 330$, perché la disequazione era richiesta col minore.

[smemo89]

Ok. Nel caso di una disequzione di secondo grado, dovevo vedere invece se erano concordi oppure discordi? Se si come dovrei procedere? Grazie.