(Dis)equazione goniometrica

[maurioz]

Vorrei porre due domande semplici su cui nutro forti dubbi:

1) Nelle equazioni del tipo

$sinx=siny$ questo vale se solo se $x=y+2kpi$ intuitivamente, tuttavia non saprei dimostrare perché deve valere se e solo se. Chiedo quindi una via per farlo.

2) Detto questo mi sono domandato quando invece $sinxx <=> siny>sinx$ per definizione di monotona. giusto?

Però nel caso fosse giusto mi chiedo due cose:
a) come introduco la periodicità in $x b) mi sono limitato al dominio in cui cresce sinx, ma più in generale cosa posso dire di $sinx
Grazie

PS: si erano 3 non due le domande

[axpgn]

"maurioz":$sinx=siny$ questo vale se solo se $x=y+2kpi$ intuitivamente,

Questa è falsa

Per esempio $sin 60° = sin 120°$

Cordialmente, Alex

EDIT: non ho guardato più di tanto il resto, però mi sento di dire che se si imparano le funzioni trigonometriche partendo dalla circonferenza goniometrica poi non ci sono più dubbi, basta rifarsi a quella

[otta96]

Questo tipo di cose si risolvono in questo modo: prima le risolvi in un intervallo di periodicità (di solito $[0,2pi)$ ma anche $[-pi,pi)$ a volte si usa, ma comunque qualisiasi intervallo di lunghezza $2pi$ andrebbe bene), e poi ci aggiungi $2kpi$ per ottenere le soluzioni complete.
Ad esempio già la prima domanda che hai posto non è risolta bene, ti faccio vedere come si fa.
Prima risolvi con $x,y\in[0,2pi), sin(x)=sin(y)$, e viene: se $x=pi, y=x$ o $y=3pi-x$, che in modo più compatto (cioè senza distinguere i casi) si può scrivere $y=x$ o $|(x+y)/2-pi|=pi/2$.
A questo punto le soluzioni totali le ottieni facendo $y=x+2kpi$ o $y=(2k+1)pi-x$.
Un altro esempio con una disuguaglianza: $sin(x)<1/2$ lo risolvi in $[0,2pi)$ e ti viene $0<=x Spesso poi ci sono molti modi per rappresentare i risultati e sta a te trovare quello che ti piace di più.
Non ti ho fatto quello $sin(x)
P.S. Comunque questo tipo di cose in due variabili non sono scontatissime, soprattutto se sei alle superiori.

[maurioz]

Grazie

Allora, temo di essermi un po' perso.

$y=3pi-x$ (1)

$|(x+y)/2-pi|=pi/2$. (2)

$y=(2k+1)pi-x$. (3)

$3pi-x$ immagino sia un 2pi?
non hocapito come condensare in 2 e 3 dalla 1, cioè i passaggi da fare.


Ho iniziato a impostare sinx Mi sembra corretto il discorso della monotonia (?) che facevo, però una volta che passo pi/2 -> $[pi/2,pi]$ non riesco a capire come studiarla sinx Insomma se hai voglia seguo il ragionamento volentieri perché non capisco come uscirne

[axpgn]

Sarò noioso ma mi ripeto: parti dalla circonferenza goniometrica, impara le funzioni trigonometriche lì sopra (esercitati per un po') e non avrai problemi.

Cordialmente, Alex

EDIT:


Esempio: Il seno di tutti gli angoli in zona azzurra sono maggiori di $29.95°$ mentre il seno di quelli nella zona rimanente sono minori.
Scrivi le disequazioni relative ed aggiungici $2pi$

[@melia]

Ovviamente axpgn intendeva dire:
Esempio: "Il seno di tutti gli angoli in zona azzurra sono maggiori del seno di $29.95°$ mentre il seno di quelli nella zona rimanente sono minori".
Inoltre se usi l'angolo in gradi e non in radianti "Scrivi le disequazioni relative ed aggiungici $360°$".

[axpgn]

Quando parti con un'idea e poi la cambi ... disaster ...

[maurioz]

Sì, certo. Ma io sto facendo così infatti, non vedo come si possa fare in altro modo . però sbaglio qualcosa sulla circonferenza nel ragionamento come spiegavo nel mio ultimo messaggio.

[axpgn]

Non ho capito molto del tuo ultimo messaggio: potresti riscriverlo passo passo?
Prima di tutto, cosa vuoi risolvere? Una cosa alla volta è meglio

[maurioz]

Ciao

Allora, vorrei proprio capire come svolgere sinx Questo perché data la monotonia del seno quando sono le primo quadrante ogni volta che x QUinid nel primo quadrante x sinx Però mi incasino presto perché ora dico ma se y si trova nel secondo quadrante e x è l'angolo nel primo ci sono dei momenti in cui x>y ma sinx puà essere minore di y.

Insomma mi complico così tanto che mi impasticcio e non riesco a trovare una soluzione generale per sinx

Cita

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[axpgn]

E infatti io ti suggerisco di guardare la circonferenza goniometrica tutta intera ...

In quel disegno $sin(x)$ è il segmento rosso: quali sono gli angoli il cui seno è maggiore di quello di $x$ (nell'esempio $x=29.95°$)?
Quelli nell'area azzurra ovvero quelli compresi tra $x$ e $pi-x$, in formule $x E quali sono gli angoli il cui seno è minore di quello di $x$? Quelli nell'area marrone ovvero quelli compresi nell'intervallo tra $0$ e $x$, in formule $0
E riassumendo abbiamo che da $sin(y)>sin(x)$ si ottiene $x
Questo però è solo il primo "giro", per avere tutte le soluzioni dobbiamo aggiungere $2kpi$ con $k in ZZ$ cioè $x+2kpisin(x)$ e $0+2kpi

Cordialmente, Alex

[maurioz]

Grazie
Ho capito in sostanza guardo caso per caso, in particolare se sono con x tra $pi$ e $3/2pi$ allora

$siny>sinx$ quando $x

Cita

Segnala

[axpgn]

No. Il contrario.

Esempio:

$x=150°$

$sin(x)=sin(150°)=sin(330°)= -1/2$


$y=270°$

$sin(270°)= -1$

Ti pare che sia $sin(y)>sin(x)$ ?

Te lo ripeto per l'ultima volta, disegna la circonferenza goniometrica. È sufficiente.

Cordialmente, Alex

[maurioz]

Stavo per venire a correggere ma vedo che hai già risposto purtroppo. Era il contrario ovviamente scusatemi!
Ti ringrazio.

Vorrei chiedere un'ultima cosa, ossia vorrei capire i passaggi algebrici di una risposta data prima (otta96)

[quote]$y=3pi-x$ (1)

$|(x+y)/2-pi|=pi/2$. (2)

$y=(2k+1)pi-x$. (3)

non ho capito come condensare in 2 e 3 dalla 1, cioè i passaggi da fare.[/quote]

Non mi è chiaro come siano stati svolti.

[otta96]

la 1) si riferisce alla parte tra $pi$ e $2pi$, in cui il seno è uguale se $x$ e $y$ sono alla stessa distanza da $3/2pi$, cioè $y=3pi-x$ a questo punto sia in $[0,pi)$ che $[pi,2pi)$ il seno è uguale se $x$ e $y$ sono simmetrici rispetto al centro del segmento, cioè la loro media è $pi/2$ nel primo caso e $3/2pi$ nel secondo, che si può scrivere con la 2).
Inoltre la 3) viene da entrambi i casi perchè $y=pi-(x+2kpi)=(1-2k)pi-x$, ma ${(1-2k)pi-x|k\in ZZ}={(2k+1)pi-x| k\in ZZ}$ e $y=3pi-(x+2kpi)=(3-2k)pi-x$, ma ${(3-2k)pi-x|k\in ZZ}={(2k+1)pi-x| k\in ZZ}$, da cui la 3).

[maurioz]

Ho fatto 3 disegni prima di riuscire a capire tutto XD, ora è chiaro.

Ma come caspita ci sei arrivato? Non riuscirò mai, non capisco proprio il processo logico per arrivarci da zero

[axpgn]

Ma non è necessario ... perché complicarsi la vita?

[otta96]

Vabbè, ho solo ragionato sul grafico della funzione seno, tra parentesi come ha detto axpgn puoi ragionare sulla circonferenza goniometrica ma aggiungo io che puoi ragionare anche sul grafico del seno, a volte/qualcuno ci si trova meglio, io ad esempio preferisco generalmente la circonferenza goniometrica ma a volte mi trovo meglio col grafico.

[axpgn]

Sì, capisco, sul grafico è più facile "spostarsi" sull'asse delle $x$ e si hanno meno problemi con la periodicità (o meglio, con la ciclicità visto che diventa più "lineare" il "movimento"), ritengo però che se uno ha dubbi, rifarsi alla circonferenza goniometrica rende visibile immediatamente sia gli angoli sia le funzioni trigonometriche.
IMHO

Cordialmente, Alex