Disequazione Goniometrica
Ciao a tutti
Mi sono bloccato in questo esercizio:
$3sen(x)cos(x) - sqrt(3)cos^2(x) < 3sen(x) - sqrt(3)cos(x)$
vi scrivo come ho proceduto
$3sen(x)cos(x) - 3sen(x) < sqrt(3)cos^2(x) - sqrt(3)cos(x)$
$3sen(x)(cos(x)-1) < sqrt(3)cos(x)(cos(x)-1)$
$(cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) <0$
1) $cos(x)>1$ per nessuna x appartenente ad R
2) $3sen(x)-sqrt(3)cos(x)>0$
ho pensato di usare la regola dell'angolo aggiunto, ma non ho ben capito come fare quando a secondo membro mi trovo zero.
$ sen(a) = 1/2 $
$ cos(a) = sqrt(3)/2 $
l'angolo a è $ pi/6 $
adesso $
sen(x+a)= 0/(2*sqrt(3)) = 0$
poi non riesco a procedere. come si continua ? si dovrebbe uguagliare
$x+ pi/6 = sen(x+a)$
Ma non avendo sen(x+a), come faccio ?
Le soluzioni dovrebbero essere
$pi/6 + 2kpi < x < 7/6 pi + 2kpi$
Mi sono bloccato in questo esercizio:
$3sen(x)cos(x) - sqrt(3)cos^2(x) < 3sen(x) - sqrt(3)cos(x)$
vi scrivo come ho proceduto
$3sen(x)cos(x) - 3sen(x) < sqrt(3)cos^2(x) - sqrt(3)cos(x)$
$3sen(x)(cos(x)-1) < sqrt(3)cos(x)(cos(x)-1)$
$(cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) <0$
1) $cos(x)>1$ per nessuna x appartenente ad R
2) $3sen(x)-sqrt(3)cos(x)>0$
ho pensato di usare la regola dell'angolo aggiunto, ma non ho ben capito come fare quando a secondo membro mi trovo zero.
$ sen(a) = 1/2 $
$ cos(a) = sqrt(3)/2 $
l'angolo a è $ pi/6 $
adesso $
sen(x+a)= 0/(2*sqrt(3)) = 0$
poi non riesco a procedere. come si continua ? si dovrebbe uguagliare
$x+ pi/6 = sen(x+a)$
Ma non avendo sen(x+a), come faccio ?
Le soluzioni dovrebbero essere
$pi/6 + 2kpi < x < 7/6 pi + 2kpi$
Risposte
"Pemberton!":
1) $cos(x)>1$ per nessuna x appartenente ad R
2) $3sen(x)-sqrt(3)cos(x)>0$
ho pensato di usare la regola dell'angolo aggiunto, ma non ho ben capito come fare quando a secondo membro mi trovo zero.
$ sen(a) = 1/2 $
$ cos(a) = sqrt(3)/2 $
l'angolo a è $ pi/6 $
Bene! Fino a qui il procedimento è corretto! Ma temo tu non abbia capito il senso dell'angolo aggiunto.
"Pemberton!":
$ x+ pi/6 = sen(x+a) $
Ma non avendo sen(x+a), come faccio ?
Questa cosa è scorretta, anche perché \(\alpha \) te lo sei appena calcolato sopra.
Ti ritrovi giustamente a dover risolvere \( 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \). Ora moltiplichiamo tutto per \( \frac{1}{2 \sqrt{3}} \) per ottenere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) >0 \]
Giustamente tu ti domandi se esiste un angolo \( \alpha \) tale che \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) e \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
In questo modo puoi scrivere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) = \cos(\alpha)\sin(x) - \sin(\alpha) \cos(x) = \sin(x- \alpha ) > 0 \]
E giustamente trovi che \( \alpha = \pi/6\). Ora riscrivi questa nuova informazione...
\[ \sin(x- \pi/6) > 0 \]
e da qui penso tu sappia continuare.
"3m0o":
Questa cosa è scorretta, anche perché \(\alpha \) te lo sei appena calcolato sopra.
Ti ritrovi giustamente a dover risolvere \( 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \). Ora moltiplichiamo tutto per \( \frac{1}{2 \sqrt{3}} \) per ottenere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) >0 \]
Ok e fin qui ci sono ma da qui
"3m0o":
Giustamente tu ti domandi se esiste un angolo \( \alpha \) tale che \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) e \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
In questo modo puoi scrivere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) = \cos(\alpha)\sin(x) - \sin(\alpha) \cos(x) = \sin(x- \alpha ) > 0 \]
non ho più capito cosa hai fatto e/o come hai ragionato.
E giustamente trovi che \( \alpha = \pi/6\). Ora riscrivi questa nuova informazione...
\[ \sin(x- \pi/6) > 0 \]
e da qui penso tu sappia continuare.[/quote]
si saprei continuare da qui, porrei $x>pi/6$, farei il prodotto delle soluzioni tra questo appena calcolato e il "per nessuna x appartenente ad R" e probabilmente mi troverei.. ora controllo, ma resta il fatto che non ho capito i tuoi passaggi.
Esiste un modo per risolverlo come con il sistema per equazioni lineari per le equazioni goniometriche, però per le disequazioni?
"Pemberton!":
[quote="3m0o"] Giustamente tu ti domandi se esiste un angolo \( \alpha \) tale che \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) e \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
In questo modo puoi scrivere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) = \cos(\alpha)\sin(x) - \sin(\alpha) \cos(x) = \sin(x- \alpha ) > 0 \]
non ho più capito cosa hai fatto e/o come hai ragionato.
[/quote]
1)
Sei d'accordo che risolvere
\[ 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
?
2)
Ora se \( \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} \) risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]
3) ho usato la nota formula trigonometrica della differenza degli angoli del seno \( \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \sin(y) \cos(x) \)
per riscrivere questa
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]
nel seguente modo
\[ \sin(x-\pi/6) > 0 \]
"Pemberton!":
si saprei continuare da qui, porrei $x>pi/6$, farei il prodotto delle soluzioni tra questo appena calcolato e il "per nessuna x appartenente ad R" e probabilmente mi troverei.. ora controllo, ma resta il fatto che non ho capito i tuoi passaggi.
Onestamente non ho capito molto quello che vuoi fare, ma sospetto che non sia corretto. Perché dici \( x > \pi/6 \) ?
a) Mi sai dire quando \( \sin(\beta) > 0 \) ?
b) Cosa intendi fare il prodotto delle soluzioni tra questo e "per nessuna x appartenente ad \( \mathbb{R} \) ?
"3m0o":
1)
Sei d'accordo che risolvere
\[ 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
?
2)
Ora se \( \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} \) risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]
Si questo mi è chiaro
"3m0o":
3) ho usato la nota formula trigonometrica della differenza degli angoli del seno \( \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \sin(y) \cos(x) \)
per riscrivere questa
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]
nel seguente modo
\[ \sin(x-\pi/6) > 0 \]
E adesso mi è chiaro anche questo passaggio.
a) $ 2kpi < beta < pi + 2kpi $
b) intendo che l'equazione originaria semplificata, è
$ (cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) < 0$
quindi oltre al secondo prodotto su cui trovavo difficoltà, c'è anche il primo
$cos(x)>1$ = per nessuna x appartenente ad R
Per cui trovate le soluzioni per il secondo prodotto, devo fare il prodotto dei segni tra i due per trovarmi l'effettiva soluzione. O no ?
"Pemberton!":
a) $ 2kpi < beta < pi + 2kpi $
Okay sì! Ora poni \( \beta = x - \pi/6 \), e otteni per \(x\)...
"Pemberton!":
b) intendo che l'equazione originaria semplificata, è
$ (cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) < 0$
quindi oltre al secondo prodotto su cui trovavo difficoltà, c'è anche il primo
$cos(x)>1$ = per nessuna x appartenente ad R
Per cui trovate le soluzioni per il secondo prodotto, devo fare il prodotto dei segni tra i due per trovarmi l'effettiva soluzione. O no ?
Okay ho capito cosa intendi, sì è giusto. Ma voglio solo farti notare una cosa per semplificarti.
\[ (\cos x - 1) ( 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x ) < 0 \]
ora siccome \( \cos x -1 < 0 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \) allora abbiamo che il termine \( (\cos x - 1) \) in un certo senso non influisce sul segno della tua disequazione. Risolvendo questo
\[ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x > 0 \]
hai trovato già le soluzioni senza dover fare la tabella dei segni.
"3m0o":
ora siccome \( \cos x -1 < 0 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \)
tranne per $x=2kpi$
"axpgn":
[quote="3m0o"]ora siccome \( \cos x -1 < 0 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \)
tranne per $x=2kpi$[/quote]
Ups..
"3m0o":
hai trovato già le soluzioni senza dover fare la tabella dei segni.
Si lo so, alle cose così semplici ancora ci sto dietro...
il tranne per $x=2kpi$ è corretto ma è automaticamente escluso dalle soluzioni e non ho bisogno di specificarlo.. giusto ?
$pi/6 + 2kpi < x < 7/6pi + 2kpi$
"Pemberton!":
il tranne per $x=2kpi$ è corretto ma è automaticamente escluso dalle soluzioni e non ho bisogno di specificarlo.. giusto ?
$pi/6 + 2kpi < x < 7/6pi + 2kpi$
No hai bisogno di specificarlo. A me è scappato via. Ma è un errore infatti
\[ (\cos x - 1)(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x) < 0 \]
è equivalente a
\[ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x > 0 \]
solo se \( x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2 k \pi | k \in \mathbb{Z}\} \).
E lo puoi affermare perché quello che stai facendo è moltiplicare entrambe i membri per \( \frac{1}{ (\cos x - 1)} \) ovvero
\[ \frac{1}{ (\cos x - 1)} \cdot (\cos x - 1)(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x) > \frac{1}{ (\cos x - 1)} \cdot 0 \]
grazie al noto principio di equivalenza delle disequazioni, ovvero che moltiplicando ambo i membri per un numero o un espressione negativa allora la disequazione è equivalente cambiandone il verso. Mentre se moltiplichi per un numero positivo allora non cambi il verso.
Il problema è che con \(x = 2\pi k \) e \( k \in \mathbb{Z} \) l'espressione \((\cos x - 1) = 0 \). Lo zero non possiede inverso moltiplicativo e dunque non puoi moltiplicare per \( \frac{1}{ (\cos x - 1)} \).
Devi dividere i due casi e dire se \( x = 2 \pi k \) la disequazione diviene \( 0 < 0 \) che non è mai verificata. Altrimenti... e fai come fatto sopra.
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