Disequazione goniometrica

[bosu1]

Chiedo gentilmente un aiuto nella risoluzione della seguente disequazione che non so bene come affrontare:

$ sin x>= sin (2x+1) $

Le soluzioni in $ [0,2Pi ] $ sono : $ [(pi -1)/3,(3pi -1)/3]uu [(5pi -1)/3,2pi -1] $


Grazie

[@melia]

Credo che l'unica possibilità sia quella di ricorrere alla prostaferesi trasformando $sin x>= sin (2x+1)$ in
$sin x- sin (2x+1)>=0$ e poi $2*cos((x+2x+1)/2)*sin ((x-2x-1)/2)>=0$.
Quando imposti lo studio dei segni fai molta attenzione al periodo, che puoi togliere SOLO a studio dei segni completato.

[bosu1]

Ci ho provato seguendo la tua indicazione. Ma mi perdo con i conti. Puoi darmi un ulteriore aiuto?

Grazie

[andar9896]

Ciao, sei sicuro di quel $5pi$ nella soluzione? (A me viene $4pi$)
Comunque il 2 puoi anche metterlo da parte e concentrarti su
$cos((3x+1)/2)>=0$ e $sin((-x-1)/2)>=0$ o se preferisci $sin((x+1)/2)<=0$. Se hai difficoltà ti consiglio un rapido cambio di variabile (es. $(3x+1)/2=y$) in modo da visualizzare meglio la situazione.

[bosu1]

Seguendo le vostre indicazioni sono giunto al seguente risultato:

$ cos y>= 0 $

$ y=(3x+1)/2 $

$ sin y<= 0 $

$ y=(x+1)/2 $

per cos y
$ -1/3+2/3kpi <= x<= (pi -1)/ 3+2/3kpi uu (3pi -1)/3+2/3kpi <= (4pi -1)/3+2/3kpi $

per sen y
$ 2kpi +2pi -1<= x<= 4pi -1+2kpi $

A questo punto dovrei calcolare i segni ma ho qualche difficoltà anche perchè sono diversi i periodi delle due funzioni da moltiplicare. Mi indicate la strada giusta per farlo?

Grazie

[andar9896]

Hai scritto nel testo che le soluzioni sono da cercare nell'intervallo $[0,2pi]$, quindi devi guardare solo in questo intervallo. Ordina i valori e prendi solo quello che ti interessano; occhio però che il periodo non è $2/3 k pi$ ma $4/3 k pi$.

[bosu1]

Ci ho provato ma tra periodo e segni faccio una discreta confusione. Non mi riesce la valutazione dei segni. Potete descrivermi i passaggi corretti per farlo nel caso di questa disequazione? Ormai è una questione personale fra me e questa disequazione
Grazie

[andar9896]

Ok allora prima di tutto mi scuso perché effettivamente c'è il $5pi$ comunque procediamo per gradi:
1. $cos((3x+1)/2)>=0$
$0+2k pi <= (3x+1)/2 <= pi/2 + 2k pi uu 3/2pi + 2k pi <= (3x+1)/2 <= 2pi +2k pi$
Da cui alla fine:
$-1/3 + 4/3k pi <= x <= (pi-1)/3 + 4/3k pi uu (3pi-1)/3 + 4/3k pi <= x <= (4pi -1)/3 + 4/3 k pi$
Per $k=0$ abbiamo
$-1/3<=x<=(pi - 1)/3 uu (3pi-1)/3<=x<=(4pi-1)/3$
Per $k=1$ invece
$(4pi-1)/3<=x<=(5pi-1)/3 uu$ cose maggiori di $2pi$
2. $sen((x+1)/2)<=0$
$pi + 2k pi<=x<=2pi + 2 kpi$
Alla fine
$2pi-1 + 4kpi<=x<= 4pi-1 + 4k pi$ che per $k=0$ diventa
$2pi-1<=x<=4pi -1$
Non diamo altri valori a k perché già così superiamo $2pi$.

Ora abbiamo che
$-1/3<0<(pi-1)/3<(3pi-1)/3<(4pi-1)/3<(5pi-1)/3<2pi-1<2pi$
Ora che sono ordinati, puoi fare il grafico dei segni:-D
Spero di non aver commesso errori di battitura ahah