Disequazione fratta radice quadrata
Ciao a tutti, ho un dubbio su un altra disequazione proveniente da questo studio di funzione.
$ f(x) = sqrt(1-x)+1-x^2 $
Dovrebbe essere risolvibile analiticamente.
$ ( 1 + 4x*sqrt(1-x) ) / ( 2*sqrt(1-x) ) >= 0 $
Ho separato numeratore e denominatore, per il numeratore
$ 1 + 4x*sqrt(1-x) >= 0 rArr $
$ rArr 4x*sqrt(1-x) >= -1 $
A questo punto ho provato a mettere 4x nella radice e dovrebbe diventare
$ sqrt(16x^2*(1-x)) >= -1 $
Si puo' dire che il risultato della radice e' sempre > di -1. (giusto?)
Impongo che l'argomento della radice sia >= 0
$ 16x^2*(1-x) >= 0 $
A questo punto procedo cosi'
$\{(16x^2>=0 rArr x^2>=0 rArr AA x in RR),(1-x>=0 rArr x<=1):}$
Quindi la radice esiste (e quindi la diseq e' verificata) $AA x <=1$
Tornando alla frazione la positivita' del denominatore dovrebbe essere (-$oo$, 1)
Dovremmo avere la non esistenza del numeratore per x >1
Quindi la positivita' della frazione e' $AA x <= 1$
Dallo studio della monotonia, il segno dovrebbe venire rovesciato(si moltiplica per -1 durante i calcoli)
quindi f '(x) e' >= 0 quando $ ( 1 + 4x*sqrt(1-x) ) / ( 2*sqrt(1-x) ) <= 0 $ cioe' mai ?
Deduco che la funzione quando esiste e' sempre decrescente, ma cosi' non e'...
Per favore ditemi cio' che e' sbagliato.
$ f(x) = sqrt(1-x)+1-x^2 $
Dovrebbe essere risolvibile analiticamente.
$ ( 1 + 4x*sqrt(1-x) ) / ( 2*sqrt(1-x) ) >= 0 $
Ho separato numeratore e denominatore, per il numeratore
$ 1 + 4x*sqrt(1-x) >= 0 rArr $
$ rArr 4x*sqrt(1-x) >= -1 $
A questo punto ho provato a mettere 4x nella radice e dovrebbe diventare
$ sqrt(16x^2*(1-x)) >= -1 $
Si puo' dire che il risultato della radice e' sempre > di -1. (giusto?)
Impongo che l'argomento della radice sia >= 0
$ 16x^2*(1-x) >= 0 $
A questo punto procedo cosi'
$\{(16x^2>=0 rArr x^2>=0 rArr AA x in RR),(1-x>=0 rArr x<=1):}$
Quindi la radice esiste (e quindi la diseq e' verificata) $AA x <=1$
Tornando alla frazione la positivita' del denominatore dovrebbe essere (-$oo$, 1)
Dovremmo avere la non esistenza del numeratore per x >1
Quindi la positivita' della frazione e' $AA x <= 1$
Dallo studio della monotonia, il segno dovrebbe venire rovesciato(si moltiplica per -1 durante i calcoli)
quindi f '(x) e' >= 0 quando $ ( 1 + 4x*sqrt(1-x) ) / ( 2*sqrt(1-x) ) <= 0 $ cioe' mai ?
Deduco che la funzione quando esiste e' sempre decrescente, ma cosi' non e'...
Per favore ditemi cio' che e' sbagliato.
Risposte
Un errore sicuramente [ma è un errore minore] è includere il punto \(\displaystyle x = 1 \) che deve essere escluso perché annulla il denominatore.
Una cosa più importante è invece il passaggio
\[
4x \sqrt{1 - x} = \sqrt{16x^2 (1 - x)}
\]
perché in realtà, se provi a tornare indietro, ottieni che
\[
\sqrt{16x^2 (1 - x)} = 4 |x| \sqrt{1 - x} =
\begin{cases}
4 x \sqrt{1 - x} & x \ge 0 \\
-4 x \sqrt{1 - x} & x < 0
\end{cases}
\]
quindi devi spezzare l'equazione in base al segno di \(x\).
Un'alternativa secondo me più valida alla soluzione di quella disequazione, comunque, è passare dall'equazione associata: se imposti
\[
4x \sqrt{1 - x} = -1
\]
dovresti risolverla facilmente con un "trucco" abbastanza standard.
Una cosa più importante è invece il passaggio
\[
4x \sqrt{1 - x} = \sqrt{16x^2 (1 - x)}
\]
perché in realtà, se provi a tornare indietro, ottieni che
\[
\sqrt{16x^2 (1 - x)} = 4 |x| \sqrt{1 - x} =
\begin{cases}
4 x \sqrt{1 - x} & x \ge 0 \\
-4 x \sqrt{1 - x} & x < 0
\end{cases}
\]
quindi devi spezzare l'equazione in base al segno di \(x\).
Un'alternativa secondo me più valida alla soluzione di quella disequazione, comunque, è passare dall'equazione associata: se imposti
\[
4x \sqrt{1 - x} = -1
\]
dovresti risolverla facilmente con un "trucco" abbastanza standard.
"Raptorista":
Un'alternativa secondo me più valida alla soluzione di quella disequazione, comunque, è passare dall'equazione associata: se imposti
\[
4x \sqrt{1 - x} = -1
\]
dovresti risolverla facilmente con un "trucco" abbastanza standard.
E qual e' questo trucco standard? Io eleverei al quadrato entrambi i membri...
Un po' di pazienza...
Proprio quello!
Scusate l'intromissione, ma per poter eseguire il seguente passaggio:
$4x*sqrt(1-x)=-1 rarr 16x^2(1-x)=1$
è necessario porre $x<0$.
$4x*sqrt(1-x)=-1 rarr 16x^2(1-x)=1$
è necessario porre $x<0$.
"speculor":
Scusate l'intromissione, ma per poter eseguire il seguente passaggio:
$4x*sqrt(1-x)=-1 rarr 16x^2(1-x)=1$
è necessario porre $x<0$.
Si pone x<0 perche' elevando al quadrato si aggiungono delle soluzioni dalla parte dei reali positivi.
Elevando al quadrato il -1 diventa +1 e se si vuole tornare indietro con la radice quadrata otteniamo $+-1$
$4x*sqrt(1-x)=-1 rArr 16x^2(1-x)=1$
Se torniamo indietro
$16x^2(1-x)=1 rArr 4|x|*sqrt(1-x)=+-1$
Ma si mette il valore assoluto alla x?
E' cosi'? Chiaritemi per favore.
Poi comunque continuando a risolvere l'equazione giungo a questa
$16x^2*(1-x)=1 rArr 16x^2-16x^3-1=0$
Che non riesco a risolvere con il metodo della frazione. (quello che ho descritto qui http://www.matematicamente.it/forum/problema-disequazione-fratta-con-radice-cubica-t82842.html#p566090)
Il massimo che riesco a fare e' sapere che ha 3 soluzioni applicando lo studio di funzione(sempre che sia corretto).
Possibile che anche questa diseq non e' risolvibile analiticamente? Questa l'ho presa addirittura dal mio vecchio libro delle scuole superiori...
Quando elevi al quadrato i $2$ membri di un'equazione, devi sincerarti che abbiano lo stesso segno, entrambi positivi o entrambi negativi. Viceversa, potresti ottenere un numero maggiore di soluzioni che, senza le opportune condizioni, andresti erroneamente ad accettare.
@speculor: accidenti, così però sveli subito il finale a sorpresa 
@Raptorista, scusami per non aver colto pienamente l'intento didattico della discussione. Concordo sul fatto che sia meglio lasciare allo studente lo sviluppo di eventuali ulteriori considerazioni. 
Ma va, no problem 
Solo che poi sembrava che io non ci avessi pensato XD
Solo che poi sembrava che io non ci avessi pensato XD
@Raptorista
Hai perfettamente ragione. Mi togli una curiosità? XD è, come dire, una sorta di "bestemmia mascherata"?
Hai perfettamente ragione. Mi togli una curiosità? XD è, come dire, una sorta di "bestemmia mascherata"?
Questo procedimento? Diciamo che è una sorta di test per vedere se chi fa l'esercizio è attento a ciò che fa oppure no
@Raptorista.
No, mi stavo riferendo alla scrittura "XD". Siccome la vedo spesso usare, mi chiedevo che cosa volesse dire. Avevo pensato volesse significare "per ...", quella che io ho chiamato "bestemmia mascherata".
No, mi stavo riferendo alla scrittura "XD". Siccome la vedo spesso usare, mi chiedevo che cosa volesse dire. Avevo pensato volesse significare "per ...", quella che io ho chiamato "bestemmia mascherata".
Ma no! XD
"XD" è una emoticon, girala di \(-\frac \pi 2\) e vedrai una faccia
Io la suo per esprimere sensazioni tipo "cacchio", "d'oh!" oppure "ma pensa te!", "pazzesco".
La 'X' dovrebbe indicare gli occhi strizzati per il "colpo", ma riconosco di abusare tranquillamente di questa emoticon XD
P.s. è per questo che prima non avevo capito che "XD" fosse il soggetto della tua frase ma pensavo fosse collegato a quella prima
"XD" è una emoticon, girala di \(-\frac \pi 2\) e vedrai una faccia
Io la suo per esprimere sensazioni tipo "cacchio", "d'oh!" oppure "ma pensa te!", "pazzesco".
La 'X' dovrebbe indicare gli occhi strizzati per il "colpo", ma riconosco di abusare tranquillamente di questa emoticon XD
P.s. è per questo che prima non avevo capito che "XD" fosse il soggetto della tua frase ma pensavo fosse collegato a quella prima
Ok!
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