Disequazione fratta con radice e logaritmo

[Chiò1]

Ciao ragazzi mi trovo alle prese con una disequazione che ho risolto, cioè il risultato è corretto ma non sono certo sui procedimenti adoperati, qualcuno di voi sarebbe così gentile da correggere lo svolgimento?
Allora la disequazione è

$(sqrt(x-1)-2)/(log_3(7-x)) >=0$

pongo $N>=0$

quindi: $(sqrt(x-1)-2)>=0$ che consiste nel risolvere il sistema:

$x-1>=0$ e $x-1>=4$ da cui ottengo la soluzione $x>=5$

mentre pongo $D>0$

quindi $log_3(7-x)>=0$

ossia risolvere il sistema: $7-x>0$ e $7-x>1$ da cui ottengo la soluzione $x<6$

soluzione finale: $5<=x<6$

spero possiate aiutarmi fra pochi giorni ho l'esame scritto e sarebbe di fondamentale aiuto per me levarmi questi dubbi...

[Izzo2]

Si, i tuoi passaggi sono giusti

[@melia]

Sei stato fortunato, in effetti avresti dovuto mettere a sistema lo studio del segno $N/D>=0$ con le condizioni di esistenza dell'esercizio, ma in questo caso il risultato non cambia. Se, invece, avessi dovuto risolvere la disequazione $(sqrt(x-1)-2)/(log_3(7-x)) <=0$ la soluzione non sarebbe stata $x<=5 vv x>6$, ma avresti dovuto mettere questa soluzione che esce dallo studio dei segni con le condizioni di esistenza della radice $x>=1$ e del logaritmo $x<7$, per cui la soluzione finale sarebbe stata $1<=x<=5 vv 6
Nei calcoli fatti ad un certo punto hai messo un $>=$ al posto di $>$, ma poi hai corretto nel passaggio successivo, quindi l'ho considerato un mero errore di battitura.

[Chiò1]

Ciao @melia, ti ringrazio per aver risposto, immaginavo che nel mio procedimento qualcosa non quadrasse, se io avessi dovuto risolvere utilizzando il metodo giusto come avrei dovuto procedere? Nel tuo esempio avrei dovuto procedere come su per lo studio del numeratore e denominatore, ma quando svolgo lo studio del segno non sto già implicitamente risolvendo anche le condizioni di esistenza del radicale e del log?