Disequazione fratta

[blob84]

Disequazione:
$\frac{2x+3}{x+5} <= \frac{x+1}{|x-1|}$
quindi bisogna calcolare con $x-1$ e $-(x-1)$
con la prima diventa:
$\frac{2x+3}{x+5} - \frac{x+1}{x-1} <= 0$
Dai calcoli si ha:
$\frac{x^2-5x-8}{(x+5)(x-5)} <= 0$
$x^2-5x-8 = 0$
$\frac{\Delta=5 +- sqrt(57)}{2}$
Ho trovato le radici per cui si annulla poi che bisogna fare.

[Zero87]

"blob84":quindi bisogna calcolare con $x-1$ e $-(x-1)$

Stiamo attenti perché ci vuole calma e gesso (come direbbero i giocatori di carambola!) per le disequazioni fratte.

Quando hai a che fare con un modulo, prima devi studiare il segno dell'argomento del modulo, nel tuo caso non è difficile perché ce ne è uno solo.
Sai che, per $x>1$ l'argomento è positivo ed il modulo vale $x-1$ mentre per $x<1$ il modulo vale $-(x-1)$ essendo negativo l'argomento.

A quel punto tratti con calma i due (in questo caso) casi che ti si creano.

Caso $x>1$
La disequazione diventa ... e ne studi il segno dopo aver fatto i calcoli giusti, ricordandoti, però, che il risultato che hai trovato vale solo per $x>1$.

Caso $x<1$
La disequazione diventa, invece ... e anche qui ne studi il segno, ricordandoti, però, che il risultato vale solo per $x<1$.

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Fatta questa precisazione che non so se hai fatto anche tu nell'esercizio (da come lo hai postato o l'hai omessa oppure non ci hai pensato), nel tuo caso hai svolto il primo caso togliendo il modulo e lasciando l'argomento invariato (in quanto positivo) arrivando a trovare le radici del numeratore.

Una volta che hai trovato le radici sei quasi arrivato:
- innanzitutto ti segni il punto $x=1$ perché stai lavorando, per ora, solamente a destra ($x>1$), l'altro caso lo tratti separatamente;
- poi individui le radici lungo la retta reale (cioè rispondi alla domanda "quanto vale $\frac{5+\sqrt{57}}{2}$ all'incirca?" così te la piazzi nella tua retta reale in una posizione idonea) ovviamente, siccome sei nell'ambito $x>1$ se una di esse vale meno di $1$ non ti interessa perché, come già detto, stai studiando il caso $x>1$;
- a questo punto la tua retta reale è divisa in intervallini$^(1)$ e procedi con lo studio del segno per vedere i segni che assume la funzione all'interno di essi.

Ovviamente questo discorso va ripetuto nel caso $x<1$.

PS. Compare, al denominatore, $(x+5)(x-1)$ ricordati, nel complesso della funzione, che $x=-5$ e $x=1$ vanno esclusi dalla soluzione.

$^(1)$ anche se non è detto, dal momento che le radici del numeratore potrebbero entrambe essere minori di uno; puoi verificare che non è questo il caso...

[blob84]

Grazie per la spiegazione.
Però non ho capito quando si va a studiare il segno devo già aver calcolato il delta del numeratore.
Poi per esempio se il delta è minore di 0 allora il denominatore deve essere maggiore di 0 in quanto l'equazione è minore uguale a 0 e viceversa, quindi sia per x > 1 che per x < 1 ?