Disequazione fratta...

[kioccolatino90]

Buona sera a tutti ho un problema con la risoluzione della disequazione:

$(e^x*x-e^x+2)/x^2>=0$ metto in evidenza $e^x$: $(e^x*(x-1)+2)/x^2>=0$ e poi non capisco come risolverla....come posso fare?

[chiaraotta1]

Se studi la funzione $f(x) = x* e^x - e^x + 2$ che sta a numeratore, ti puoi accorgere che si tratta di una funzione che è sempre $>0$. Infatti è una funzione continua, $lim_(x->-oo)f(x) = 2$, $lim_(x->+oo)f(x) = +oo$. Inoltre $f'(x) = x * e^x$ è $<0$ per $x<0$, $=0$ per $x=0$ e $>0$ per $x>0$. Il minimo è in $(0, 1)$ e ha appunto ordinata $>0$. Quindi $f(x)>0$ in tutto il dominio.

[@melia]

La disequazione non è risolvibile con soli metodi algebrici, devi utilizzare una soluzione grafica.

[kioccolatino90]

cioè devo fare uno studio di funzione.....

questa disequazione fratta proviene dalla derivata prima della funzione $(e^x-2)/x$ (che stò studiando) non penso di aver sbagliato a derivare la funzione, quindi per vedere dove la derivata prima della funzione $(e^x-2)/x$ è positiva devo fare un'altro studio di funzione....

[kioccolatino90]

Chiedo scusa ho un dubbio che non riescvo a togliere, se lo stesso discorso vale anche per: $(e^x x^2-e^x x-e^x+2)/x^3$ perchè la funzione che studio al numeratore risulta positiva in due punti per $x<=0.3$ e $x>=1.3$...

mentre il libro riporta che è positiva solo per $x<=0$ e $x>=1.3$???? a me esce $0=1.3$

[chiaraotta1]

Non sono sicura di aver capito bene quello che chiedi. Comunque a me sembra che $(e^x * x^2 - e^x * x - e^x + 2)/x^3 > 0$ per $0beta$, con $alpha ~= 0.47$ e $beta ~=1.36$. Invece il numeratore $e^x * x^2 - e^x * x - e^x + 2 > 0$ per $x < alpha$ e $x > beta$.

[kioccolatino90]

ma per trovare $alpha$ hai usato il teorema degli zeri di funzioni continue???