Disequazione Fratta

[max0009]

Buonasera!

Una domanda.

Considerando:

$(Xe^X)/(X^2-1) >= 1$

Procedendo:
$(Xe^X-X^2+1)/(X^2-1) >= 0$

A questo punto non so davvero come procedere... ho provato a impostare il nominatore maggiore o uguale a zero ed il denominatore maggiore di zero, ma trattandosi di due equazioni di secondo grado otterrei un'intervallo di valori. Consigli?

[Raptorista1]

Se ottenessi un intervallo, basterebbe farne l'intersezione con il grafico di segno [dovresti sapere di cosa parlo].

[max0009]

Ipotizzando

$X^2-1 > 0$

e

$Xe^X-X^2+1 >= 0$

Otteniamo che la prima equazione ha come soluzione 1 e -1, precisamente la condizione maggiore di zero è soddisfatta quando x è maggiore di 1 o minore di -1.

Quanto a $Xe^X-X^2+1$ avevo pensato di risolverla come equazione di secondo grado:

$(-e^X +-\sqrt(e^(2x)+4))/-2$

Continuando poi con

$(-e^X)/-2 +-(\sqrt(e^(2x)+4))/-2$

Quindi:
$(e^X)/2 +-(\sqrt(e^(2x)+4))/-2$

$(e^X)/2 +(\sqrt(e^(2x)+4))/-2 = X1$
$(e^X)/2 -(\sqrt(e^(2x)+4))/-2 = X2$

Ma poi non so più cosa fare...

Edit: Forse qualcosa tipo: (?)

$ +(\sqrt(e^(2x)+4))/-2 = (e^XX1)/2$

$\sqrt(e^(2x)+4) = -e^XX1$

$e^(2x)+4 = (-e^XX1)^2$

$e^(2x)+4 = -e^(2X)(X1)^2$

Quindi:

$2e^(2x)+4 = (X1)^2$

(Solo un'ipotesi azzardata)

[Raptorista1]

Penso che la cosa più facile ed efficace sia di risolvere graficamente, e trovare una soluzione approssimata.

[max0009]

Purtroppo la soluzione grafica non va bene ai fini dell'esercizio... Grazie Comunque!

[Raptorista1]

Se una soluzione non è razionale, ed in caso di equazioni trascendenti è una cosa molto plausibile, non c'è scampo: in generale non puoi trovare soluzioni esatte!
Comunque se fai un disegno abbastanza accurato e ci sono soluzioni esatte potresti riuscire a vederle dal grafico.