Disequazione fratta
Buongiorno, ho difficoltà nel risolvere questa disequazione fratta, argomento che non incontro da anni. Spero possiate darmi una mano.
Il risultato dell'esercizio è $x <-1 V x> 1$
$ 2x^2/(x^3+1) - x/(x^2-x+1)<= 1/(x-1) $
Facendo il minimo comune multiplo e portando al primo membro ottengo
$((2x^2)(x-1)(x^2-x+1)-x(x^3+1)(x-1)-(x^3+1)(x^2-x+1))/((x^3+1)(x-1)(x^2-x+1))<=0$
$((2x^5-4x^4+4x^3-2x^2-x^5+x^4-x^2+x-x^5+x^4-x^3-x^2+x-1))/((x^3+1)((x-1)(x^2-x+1))<=0$
Arrivando a
$(-2x^4+3x^3-4x^2+2x-1)/((x^3+1)(x-1)(x^2-x+1))<=0$
Ho sbagliato qualcosa? Da qui non so continuare. Grazie.
Il risultato dell'esercizio è $x <-1 V x> 1$
$ 2x^2/(x^3+1) - x/(x^2-x+1)<= 1/(x-1) $
Facendo il minimo comune multiplo e portando al primo membro ottengo
$((2x^2)(x-1)(x^2-x+1)-x(x^3+1)(x-1)-(x^3+1)(x^2-x+1))/((x^3+1)(x-1)(x^2-x+1))<=0$
$((2x^5-4x^4+4x^3-2x^2-x^5+x^4-x^2+x-x^5+x^4-x^3-x^2+x-1))/((x^3+1)((x-1)(x^2-x+1))<=0$
Arrivando a
$(-2x^4+3x^3-4x^2+2x-1)/((x^3+1)(x-1)(x^2-x+1))<=0$
Ho sbagliato qualcosa? Da qui non so continuare. Grazie.
Risposte
Il m.c.d è $(x^3+1)(x-1)$ ...
Il. M.c.d?!
Il m.c.m. dei denominatori è
$(x+1)(x-1)(x^2 -x+1)$
dato che, come dovresti ricordare,
$x^3 +1=(x+1)(x^2 -x+1)$
$(x+1)(x-1)(x^2 -x+1)$
dato che, come dovresti ricordare,
$x^3 +1=(x+1)(x^2 -x+1)$
No, non lo ricordavo. Che tonto!
Grazie!
Come funziona ora, si può chiudere il post o devo risolvere la disequazione per completezza?
Grazie!
Come funziona ora, si può chiudere il post o devo risolvere la disequazione per completezza?
Va bene così. Non serve che tu faccia niente. Cioè è solo importante che tu riesca a completare l'esercizio. 
$ (-2x^2+x-1)/((x+1)(x^2-x+1)(x-1))<=0$
A questo punto posso studiarmi separatamente il numeratore e il denominatore ponendoli rispettivamente $>=0$ e $>0$ o devo prima moltiplicare e dividere entrambi per -1 e cambiare segno alla disequazione? In quest'ultimo caso mi viene, nel primo caso no.
Quando una disequazione non ammette soluzioni (delta minore di zero e disequazione minore di zero), nel grafico dove occorre valutare i segni, non devo mettere nulla, giusto?
A questo punto posso studiarmi separatamente il numeratore e il denominatore ponendoli rispettivamente $>=0$ e $>0$ o devo prima moltiplicare e dividere entrambi per -1 e cambiare segno alla disequazione? In quest'ultimo caso mi viene, nel primo caso no.
Quando una disequazione non ammette soluzioni (delta minore di zero e disequazione minore di zero), nel grafico dove occorre valutare i segni, non devo mettere nulla, giusto?
Perché entrambi?
$ (-2x^2+x-1)/((x+1)(x^2-x+1)(x-1))<=0 $ moltiplicata per $-1$ diventa
$ (2x^2-x-1)/((x+1)(x^2-x+1)(x-1))>=0 $
dove il numeratore è sempre positivo (viene $Delta<0$), mentre a denominatore hai il fattore di secondo grado anche lui con $Delta<0$ e quindi sempre positivo, perciò basta studiare il segno dei due fattori di primo grado.
$ (-2x^2+x-1)/((x+1)(x^2-x+1)(x-1))<=0 $ moltiplicata per $-1$ diventa
$ (2x^2-x-1)/((x+1)(x^2-x+1)(x-1))>=0 $
dove il numeratore è sempre positivo (viene $Delta<0$), mentre a denominatore hai il fattore di secondo grado anche lui con $Delta<0$ e quindi sempre positivo, perciò basta studiare il segno dei due fattori di primo grado.
Ma perché studiare il denominatore in tre fattori quando sappiamo che è $(x^3+1)(x-1)$ ?
Grazie per la celere risposta. Sì, in effetti basta moltiplicare per -1. Quello di avere il coefficiente "a" positivo è un passaggio obbligato prima di passare a discutere singolarmente le disequazioni?
Perché se dicutessi la prima disequazione ponendola $>=0$ e dovessi cambiare segno, a quel punto avrei delta <0 e dis. <0...
Comunque, in generale quando mi trovo in questo caso, nel grafico non va nulla giusto? Ho visto in rete che per rappresentare sul grafico che non esistono soluzioni si usa la linea tratteggiata in R, ma la linea tratteggiata non mi dice che la soluzione è sì negativa, ma comunque esiste. Mentre non essendoci soluzioni non dovrei mettere nulla sotto il grafico. È corretto?
Perché se dicutessi la prima disequazione ponendola $>=0$ e dovessi cambiare segno, a quel punto avrei delta <0 e dis. <0...
Comunque, in generale quando mi trovo in questo caso, nel grafico non va nulla giusto? Ho visto in rete che per rappresentare sul grafico che non esistono soluzioni si usa la linea tratteggiata in R, ma la linea tratteggiata non mi dice che la soluzione è sì negativa, ma comunque esiste. Mentre non essendoci soluzioni non dovrei mettere nulla sotto il grafico. È corretto?
Se devi studiare il segno di $ -2x^2+x-1>=0 $, poiché $Delta<0$, l'equazione associata non ammette soluzioni, mentre il trinomio $-2x^2+x-1$ è sempre negativo e nel grafico sarà rappresentato con la linea tratteggiata. Ma con la moltiplicazione per $-1$ si è evitato questo ragionamento un po' contorto.
Ciao! Potresti chiarirmi questa tua ultima affermazione?
Se l'equazione non ammette soluzioni, perché devo usare la linea tratteggiata? Questa non vuol dire che le soluzioni sono negative, ma comunque esistenti?
Ps è possibile anche postare foto chiare dello svolgimento anziché scriverlo?
Se l'equazione non ammette soluzioni, perché devo usare la linea tratteggiata? Questa non vuol dire che le soluzioni sono negative, ma comunque esistenti?
Ps è possibile anche postare foto chiare dello svolgimento anziché scriverlo?
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