Disequazione fratta
Buonasera ragazzi.. ho la seguente disequazione fratta:
$(x^2+x)/((x-1)(x^2+x+2))>0$. Considerando che quando studio il numenatore,la disequazione non ha soluzioni,come la devo rappresentare nel grafico della finale del prodotto dei segni?come mai soddisfatta?
Ovviamente stesso discorso con l'equazione di secondo ordine al denominatore.. perché facendo così, la soluzione della disequazione sarebbe $x>1$, mentre il libro mi da $x<1$...
Grazie in anticipoe Buona serata
$(x^2+x)/((x-1)(x^2+x+2))>0$. Considerando che quando studio il numenatore,la disequazione non ha soluzioni,come la devo rappresentare nel grafico della finale del prodotto dei segni?come mai soddisfatta?
Ovviamente stesso discorso con l'equazione di secondo ordine al denominatore.. perché facendo così, la soluzione della disequazione sarebbe $x>1$, mentre il libro mi da $x<1$...
Grazie in anticipoe Buona serata
Risposte
Per te cosa significa "studiare" il numeratore? È tutto lì ... 
Porlo maggiore di zero
"sangi89":
Considerando che quando studio il numenatore,la disequazione non ha soluzioni
Probabilmente hai scritto male, perché $ x^2+x=0 $ ha soluzioni.
Ciao
B.
"sangi89":
Porlo maggiore di zero
Al fine di determinare dove è positivo, negativo o nullo.
Perciò cosa significa "non è mai soddisfatta" ? Quel che ci interessa è il segno o meglio gli intervalli in cui assume un segno piuttosto che un altro.
Scrivi quello che hai fatto ...
Cordialmente, Alex
Avete ragione, il testo è sbagliato, era infatti $(x^2+3x+1)/((x-1)(x^2+x+2))>0$ generale quando ho una disequazione fratta, studio numeratore e denominate maggiore di zero, per poi fare il prodotto dei segni e vedere dove il segno della disequazione iniziale è soddisfatta.
In tal caso la mia disequazione è $(x^2+3x+1)/((x-1)(x^2+x+2))>0$.
Considero quindi il numeratore:
$(x^2+3x+1)>0$,e trovo le soluzioni della equazione associata,tale equazione però non ammette soluzioni reali,ovvero non è mai soddisfatta, di consequenza non è mai maggiore di zero... ora però che ci penso bene,l'equazione associata non ha soluzioni,ma la disequazione può averle... perfavore potete meglio spiegarmi come procedere?sono un pò confusa
In tal caso la mia disequazione è $(x^2+3x+1)/((x-1)(x^2+x+2))>0$.
Considero quindi il numeratore:
$(x^2+3x+1)>0$,e trovo le soluzioni della equazione associata,tale equazione però non ammette soluzioni reali,ovvero non è mai soddisfatta, di consequenza non è mai maggiore di zero... ora però che ci penso bene,l'equazione associata non ha soluzioni,ma la disequazione può averle... perfavore potete meglio spiegarmi come procedere?sono un pò confusa
Attenzione ai calcoli
$x^2+3x+1>0$ per $x<(-3-sqrt5)/2$ V $x>(-3+sqrt5)/2$
$x-1>0$ per $x>1$
$x^2+x+2>0$ per ogni x reale, il delta é minore di zero.
Ora moltiplica i segni come sai. Attenzione però, la soluzione non è quella del libro, controlla se il testo è corretto. A volte i risultati dei libri sono errati. Puoi subito rendertene conto che per x=0 (che è <1) la disequazione non è soddisfatta.
$x^2+3x+1>0$ per $x<(-3-sqrt5)/2$ V $x>(-3+sqrt5)/2$
$x-1>0$ per $x>1$
$x^2+x+2>0$ per ogni x reale, il delta é minore di zero.
Ora moltiplica i segni come sai. Attenzione però, la soluzione non è quella del libro, controlla se il testo è corretto. A volte i risultati dei libri sono errati. Puoi subito rendertene conto che per x=0 (che è <1) la disequazione non è soddisfatta.
"sangi89":
... tale equazione però non ammette soluzioni reali,ovvero non è mai soddisfatta, di consequenza non è mai maggiore di zero...
E no! Lasciando perdere gli errori di calcolo (che igiul ti ha corretto), il fatto che non abbia soluzioni significa solo che non ha intersezioni con l'asse delle ascisse (asse delle $x$); di conseguenza la funzione o sta tutta "sopra" l'asse (cioè è sempre positiva) oppure sta sempre "sotto" (e quindi è sempre negativa).
Dato che a noi interessa il segno dobbiamo capire in quale delle due situazioni siamo; ora è importante ricordarsi che un polinomio di secondo grado rappresenta una parabola ed in particolare se il coefficiente di $x^2$ è positivo (come in questo caso) la concavità della parabola è rivolta verso l'alto: cosa vuol dire? Significa che gli "estremi" della funzione "vanno verso l'alto"; se la parabola fosse tutta "sotto" l'asse ciò non potrebbe succedere quindi la nostra parabola è sempre positiva. Ok?
Un modo velocissimo per la verifica è questo: dato che se non ci sono soluzioni la funzione assume un solo segno, basta sostituire alla $x$ un valore qualsiasi e calcolarne il risultato; se poniamo $x=0$ il risultato è uguale al termine noto perciò il segno dipende da quello del termine noto ...
Cordialmente, Alex
Caspita è proprio vero, scusatemi!
Quando studio il denominatore invece devo considerare il primo fattore maggiore di zero ed il secondo anche maggiore di zero separatamente?
Quando studio il denominatore invece devo considerare il primo fattore maggiore di zero ed il secondo anche maggiore di zero separatamente?
Sì, ma il concetto generale è che una frazione è da considerare come un prodotto perché $f(x)/g(x)=f(x)*1/g(x)$ e dato che il segno di un prodotto dipende da quello dei suoi fattori quello che si fa è studiare il segno dei singoli fattori; nel tuo caso i fattori sono tre: uno è il numeratore e due stanno al denominatore cioè
$(x^2+3x+1)/((x-1)(x^2+x+2))>0\ =>\ (x^2+3x+1)*1/(x-1)*1/(x^2+x+2)>0$
Cordialmente, Alex
$(x^2+3x+1)/((x-1)(x^2+x+2))>0\ =>\ (x^2+3x+1)*1/(x-1)*1/(x^2+x+2)>0$
Cordialmente, Alex
Grazie mille, chiarissimi come sempre
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