Disequazione fratta

[msc85]

Salve, vi propongo una banale disequazione fratta che mi sta dando problemi nella risoluzione! Grazie a chi vorrà darmi una mano!
$ 4/(x^2-4)<=1 $
dunque spostando l'uno a sinistra e facendo il minimo comune multiplo, tutti d'accordo che viene
$ x^2/(4-x^2)<=0 $
Allora ho studiato il numeratore e denominatore
$ x^2>=0 $
$ 4-x^2>0 $
la prima mi da come risultato per ogni x appartenente ad R; la seconda è verificata per valori esterni x>2 e x<-2.
Quindi facendo il grafico totale del numeratore e denominatore e studiando il segno, vado a prendere come soluzione x<-2 e x>2. Ora il problema è che facendola così non compare nel grafico lo zero che invece è soluzione della disequazione di partenza! Perchè succede questo? Infatti lo zero verifica la disequazione, poichè diventerebbe $ 1<=1 $ che è vera.
Dove mi sto perdendo? Grazie a tutti!

[minomic]

"msc85": $ 4/(x^2-4)<=1 $
dunque spostando l'uno a sinistra e facendo il minimo comune multiplo, tutti d'accordo che viene
$ x^2/(4-x^2)<=0 $

Io non sono d'accordo! Viene $$\frac{8-x^2}{x^2-4}\leq 0$$

[anonymous_c5d2a1]

Veramente dal primo passaggio ottieni:
$(8-x^2)/(x^2-4)<=0$

[msc85]

scusate ragazzi! Il denominatore della disequazione di partenza è $ 4-x^2 $ .
Provate a farla con quel denominatore, ho copiato male!

[minomic]

Ok, l'errore è nella risoluzione di $$4-x^2 > 0$$ Tu hai detto che sono i valori esterni ma devi tenere presente che il coefficiente di $x^2$ è negativo, quindi i valori da considerare sono quelli interni, cioè $$-2

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[msc85]

allora, mi rendo conto che ho pasticciato tutto!! Allora si, è risolta per valori compresi..poi però quando faccio il grafico con la linea continua vado a prendere gli esterni perchè considero dove è negativa...ok? questo è il risultato finale! L'unico problema è che non includo lo zero!! e' questa la mia domanda, mi rendo conto che ho pasticciato un po' nella spiegazione!

[msc85]

________-2________0_________2__________
_______________________________________ per ogni x appartenente a R (numeratore)
_ _ _ _ _ |___________________|_ _ _ _ _ _ (denominatore)

ora prendo x<-2 e x>2 come soluzione finale!!!!! Ok? La domanda è..lo zero che è una soluzione della disequazione iniziale come mai non compare? Cioè vedendo la risoluzione così non direi che c'è anche lo zero come soluzione! Mi sono spiegata ora?

[minomic]

D'accordo, l'importante è capirsi. Il valore $0$ lo devi aggiungere tu e lo vedi dal numeratore. Infatti hai una disequazione $<=$ quindi vanno bene tutti i valori negativi e anche tutti quelli che fanno annullare la frazione. Quello che hai fatto andrebbe bene per una disequazione di tipo $<$. In questo caso devi aggiungere tutti i valori che annullano la frazione, cioè tutti i valori che annullano il numeratore, quindi $0$.

[msc85]

Esatto!! Infatti mi sono accorta da quello che in realtà ci voleva lo zero! E' proprio per quello che quindi deduco che lo studio così fatto non è sufficiente a mostrarmi il risultato completo?

[minomic]

Sì giusto. Se vogliamo possiamo pensare a una cosa: mettere la linea continua in $x^2$ significa trattarlo come una quantità sempre positiva, mentre in realtà è più corretto dire non-negativa. Per capire la differenza basta osservare le seguenti disequazioni: $$\frac{x^2}{4-x^2}\geq 0 \qquad \frac{1}{4-x^2}\geq 0$$ Nel secondo caso quell'$1$ è sempre positivo e non si annulla mai, mentre nel primo caso hai quell'$x^2$ che si può annullare (per $x=0$) e dovrai prestare attenzione a questo fatto.

[msc85]

Perfetto!!! Questo che hai messo rende proprio l'idea!! Quindi meglio usare anche la testa, non solo buttarsi sul procedimento meccanico e via! Mi sa che un esempio del genere non lo avevo mai affrontato!! Grazie mille per la risposta completa e per l'aiuto!

[minomic]

Prego, figurati!
Comunque sì, usare la testa e ragionare è sempre la cosa migliore!