Disequazione esponenziale potreste aiutarmi??

[Pippo55]

[(1/2)^(√(x^2-3))]*[4^(1/x)]-1>=0
>= sta per 'maggiore uguale'. Scusate ma non so bene come trovare gli appropriati segni.
Comunque, ho già provato a risolverla ma ottengo un risultato leggermente diverso dal libro. Il libro sembra accettare solo i numeri interi tra la soluzione che trovo io. Io ho √3

[appuntixx]

Potresti postare il risultato?

[Studente Anonimo]

Posso confermare che

[math]\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{x^2 - 3}}\,4^{1/x} - 1 \ge 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{3} \le x \le 2 \\[/math]

.

In ogni modo, cliccando col tasto destro del mouse sopra all'espressione
che ho scritto e scegliendo "Show Math As" ed infine "TeX Commands"
puoi vedere il semplice codice che occorre scrivere imbrigliato tra i tag

[math] [/math]

per ottenere tale scrittura chiara e soprattutto non ambigua. ;)

[appuntixx]

Scusa TeM, come la risolvi tu questa disequazione?

[Studente Anonimo]

# appuntixx :
Scusa TeM, come la risolvi tu questa disequazione?

Dunque, innanzitutto scriverei

[math]2^{-\sqrt{x^2 - 3}} \, 2^{2/x} \ge 1[/math]

, da cui segue che

[math]2^{\frac{2}{x} - \sqrt{x^2 - 3}} \ge 2^0[/math]

e quindi, notando che le basi sono uguali e maggiori
di uno, segue che tale equazione equivale banalmente a quest'altra:

[math]\frac{2}{x}-\sqrt{x^2 - 3} \ge 0[/math]

. A questo punto si procede al "solito modo". ;)

[appuntixx]

Io ho fatto diversamente, il mio risultato è x=rad3.
Adesso ricontrollo

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Anzi rifacendolo mi viene x 2

[Studente Anonimo]

Come ben saprai, basta un semplice controesempio per mostrare che una soluzione è sbagliata. In questo caso, se pigli

[math]x=-2[/math]

ottieni

[math]-\frac{3}{4} \ge 0[/math]

oppure, ancora, se pigli

[math]x=3[/math]

ottieni (circa)

[math]-0.71 \ge 0[/math]

che sono entrambe palesemente false. Che dire, senza farti troppi problemi, posta pure
i tuoi passaggi che ne discutiamo assieme. :)

[Pippo55]

Ottimo, una volta tanto, allora, posso dire "ha sbagliato il libro".
Dico bene? Oppure la sua restrizione della soluzione da R a N ha un senso logico?

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Ah, dimenticavo di ringraziarti per l'interessamento TeM!

[Studente Anonimo]

Se l'esercizio richiede semplicemente la risoluzione di quella disequazione allora implicitamente si considera il campo dei numeri reali e quindi la soluzione è quella che hai ottenuto. Se, invece, nella traccia dell'esercizio (alle volte capita che sia all'inizio di uno stock di esercizi) è richiesta esplicita-
mente la soluzione contenuta in campi più ristretti allora la situazione cambia!! In particolare, se è richiesta la soluzione rispetto all'insieme dei naturali, allora è ovvio che l'unico naturale che soddisfa
tale disequazione è

[math]x = 2[/math]

. :)

[Pippo55]

No, nulla di tutto questo. Però noto che il libro restringe al campo dei numeri interi (N o Z, a seconda dei casi) ogni volta che la x compare come indice di un radicale. E inoltre fa anche in modo che l'indice incognito non sia negativo. Se ad esempio ci fosse un indice 2x+3, il libro imposta x>-3/2. Scritture come quelle della foto allegata qui sotto sono forse prive di significato?

[Studente Anonimo]

La situazione è più delicata di quanto possa sembrare. Volendo fornire
esclusivamente le "regolette" pratiche, ricorda che

[math]\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}[/math]

con

[math](\small n\ge 1,\,m) \in \mathbb{N}[/math]

e per definizione

[math]\small a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}[/math]

, mentre per espres-
sioni del tipo

[math](f(x))^{g(x)}[/math]

il dominio è dato dall'intersezione dei domini
di

[math]f[/math]

e

[math]g[/math]

con la condizione aggiuntiva

[math]f(x) > 0[/math]

. :)

[Pippo55]

Non capisco come possa rispondere alla domanda.

[Studente Anonimo]

Eppure mi pare tutto così semplice: l'indice di un radicale deve essere un intero maggiore
di zero. Ergo, le espressioni che hai mostrato in allegato sono prive di senso. Ok? :)

[Pippo55]

Ma per quale ragione?
Eppure all'inizio della discussione eri d'accordo con la soluzione della disequazione √3

[Studente Anonimo]

Ma secondo voi quando scrivo una risposta mi piace scrivere
cose superflue oppure ogni singolo carattere è pensato? :|


Scrivendo in altri termini ciò che ho schematizzato sopra, se
nella disequazione di partenza fosse stato presente

[math]\sqrt[x]{4}[/math]

al-
lora si sarebbe potuto procedere riscrivendolo come

[math]4^{1/x}[/math]

,
ponendo

[math]x > 0[/math]

e considerando solo le

[math]x \in \mathbb{N}[/math]

. Dal mo-
mento in cui, invece, è già scritto nella forma

[math]4^{1/x}[/math]

segue
che ci troviamo nella seconda situazione sopra schematizzata
con

[math]\small f(x) = 4[/math]

(che è maggiore di zero, ok!) e con

[math]\small g(x) = \frac{1}{x}[/math]

,
di dominio

[math]\mathbb{R}\backslash\{0\}\\[/math]

.

Ora ti pare un po' più chiaro rispetto a prima? :)

[Pippo55]

Non dovrebbe essere indifferente che un'espressione abbia una forma piuttosto che un'altra che tra di loro sono equivalenti? Ovvero, perché in un caso dobbiamo porre quelle condizioni e nel secondo no?
Inoltre, nella definizione classica di a^x, io ho sempre trovato a>0 e x appartiene ad R. Tu come arrivi a dover porre x>0 e appartenente ad N?
Se ti sto eccessivamente rubando tempo ed energie possiamo interrompere, magari domanderò in classe al prof.

[appuntixx]

Sarò io che non mi trovo con il procedimento, ma potrei conoscere il risultato preciso del libro?

[Studente Anonimo]

No, non mi stai disturbando, però come ho scritto le cose sono molto più delicate
di quanto possano sembrare. Infatti, è luogo comune che le due scritture

[math]\sqrt[x]{4}[/math]

e

[math]4^{1/x}[/math]

siano equivalenti quando invece non lo sono (sono solo molto simili). Sul
perché non lo siano te l'ho già scritto due volte e naturalmente ciò non me lo sono
inventato, bensì come qualsiasi altro studente l'ho studiato. Naturalmente ti consiglio
vivamente di chiedere al tuo professore e vedrai che le cose stanno così.

Quanto a te appuntix, che dire, finché non ci mostri il procedimento non possiamo discuterne. :)


P.S. per delucidazioni riguardo i radicali, vedi qui. ;)

[Pippo55]

Il problema deve essere il libro, perché nelle pagine di teoria trovo cose differenti. Forse gli autori hanno voluto semplificare la faccenda.
Spero che il prof mi conceda tempo e pazienza, almeno la metà di quanto me ne abbia già elargito tu ahah. Grazie ancora!

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Grandissimo! Quegli appunti sono oro colato, il nostro libro accenna due cose in croce in mezza paginetta.

[Studente Anonimo]

Ecco, ora mi piace molto di più il tuo approccio, ossia consapevole del fatto che il tutto ruota attorno a definizioni/convenzioni che non sempre presentano uno standard comune. Per una questione affine vedi quanto ho riportato qui (sono le parole di un docente universitario). Quindi, quello che devi fare è chiedere con gentilezza al tuo insegnante delucidazioni al riguardo portando esempi direttamente dal libro di testo (che immagino vi abbia fatto comprare lui stesso). A quel punto, consapevole delle convenzioni a cui dovrai fare riferimento, non ti rimarrà che applicarle nello svolgimento degli esercizi e conseguentemente nei compiti in classe (alla fin dei conti i voti ve li darà lui). :)

[appuntixx]

Io imposto la disequazione ponendo come base comune 1/2 e perciò poi, avendo base comune, tratto solo gli esponenti. Perciò ottengo rad x^2 -3 >= 2/x che diventa una disequazione del tipo rad f(x) >= g(x) e perciò svolgo il procedimento con i due sistemi di cui poi faccio l'unione.

Conosco le varie proprietà dei radicali e seguo benissimo il vostro ragionamento, ma non so perchè non mi debba tornare. Appena ho un minuto lo riprovo!