Disequazione esponenziale
Ragà, mi aiutate a risolvere la seguente disequazione?
$log_pi((4^x-2^(x+2)+1)/(9^x-4+3^x+1)+1)>0$.
Inizio calcolando il dominio:
$D:= (4^x-2^(x+2)+1)/(9^x-4*3^x+1)+1>0$ $=> (4^x-2^(x+2)+1+9^x-4*3^x+1)/(9^x-4*3^x+1)>0 =>(2^(2x)-2^2*2^x+3^(2x)-2^2*3^x+2)/(9^x-4*3^x+1)>0$. Pongo il numeratore e il denominatore maggiori di 0, quindi:
$N:=2^(2x)-2^2*2^x+3^(2x)-2^2*3^x+2>0$
$D:=9^x-4*3^x+1>0$
Per il numeratore passo al logaritmo in base 2 e quindi: $log_2 2^(2x)-log_2 2^2-log_2 2^x+log_2 3^(2x)-log_2 2^2-log_2 3^(x)+log_2 2>0 => 2x-2-x+2xlog_2 3-2-xlog_2 3+1>0$ $=> x+xlog_2 3-3>0$ $=> x(1+log_2 3)>3 => x>3/(1+log_2 3)$. Giusto? Poi so continuare per quanto riguarda il denominatore
$log_pi((4^x-2^(x+2)+1)/(9^x-4+3^x+1)+1)>0$.
Inizio calcolando il dominio:
$D:= (4^x-2^(x+2)+1)/(9^x-4*3^x+1)+1>0$ $=> (4^x-2^(x+2)+1+9^x-4*3^x+1)/(9^x-4*3^x+1)>0 =>(2^(2x)-2^2*2^x+3^(2x)-2^2*3^x+2)/(9^x-4*3^x+1)>0$. Pongo il numeratore e il denominatore maggiori di 0, quindi:
$N:=2^(2x)-2^2*2^x+3^(2x)-2^2*3^x+2>0$
$D:=9^x-4*3^x+1>0$
Per il numeratore passo al logaritmo in base 2 e quindi: $log_2 2^(2x)-log_2 2^2-log_2 2^x+log_2 3^(2x)-log_2 2^2-log_2 3^(x)+log_2 2>0 => 2x-2-x+2xlog_2 3-2-xlog_2 3+1>0$ $=> x+xlog_2 3-3>0$ $=> x(1+log_2 3)>3 => x>3/(1+log_2 3)$. Giusto? Poi so continuare per quanto riguarda il denominatore
Risposte
Ciao. A me pare sbagliato...
Intanto: in generale è corretto iniziare definendo il dominio, ma in questo caso subito dopo aver posto tutto l'argomento maggiore di zero per l'esistenza del logaritmo dovresti porlo maggiore di uno perchè sia verificata la disuguaglianza. Va da sè che se è $>1$ sia anche $>0$, per cui si può evitare di risolvere la prima disuguaglianza e passare direttamente alla seconda, cioè $(...)>1$, dove con $(...)$ ho indicato tutto l'argomento del logaritmo.
Poi hai applicato una proprietà inesistente: da $2^(2x)-2^2 2^x+...$ sei passato a $log 2^(2x)-log 2^2 - log 2^x +...$ ; è sbagliato.
Controesempio: $1+1>0$, mentre (in qualunque base) $log1+log1=0+0=0$, che non è $>0$.
Comunque se segui il mio primo consiglio questa disequazione la lasci perdere e risolvi l'altra, decisamente più semplice...
Ciao
Intanto: in generale è corretto iniziare definendo il dominio, ma in questo caso subito dopo aver posto tutto l'argomento maggiore di zero per l'esistenza del logaritmo dovresti porlo maggiore di uno perchè sia verificata la disuguaglianza. Va da sè che se è $>1$ sia anche $>0$, per cui si può evitare di risolvere la prima disuguaglianza e passare direttamente alla seconda, cioè $(...)>1$, dove con $(...)$ ho indicato tutto l'argomento del logaritmo.
Poi hai applicato una proprietà inesistente: da $2^(2x)-2^2 2^x+...$ sei passato a $log 2^(2x)-log 2^2 - log 2^x +...$ ; è sbagliato.
Controesempio: $1+1>0$, mentre (in qualunque base) $log1+log1=0+0=0$, che non è $>0$.
Comunque se segui il mio primo consiglio questa disequazione la lasci perdere e risolvi l'altra, decisamente più semplice...
Ciao
Grazie mille :D Ma avevo pensato di applicare questa proprietà: $log_a(B*A)=log_aB+log_aA$ quindi $-[log_2(2^2*2^x)]=-log_2 2^2-log_2 2^x$
:D Ma avevo pensato di applicare questa proprietà: $log_a(B*A)=log_aB+log_aA$ quindi $-[log_2(2^2*2^x)]=-log_2 2^2-log_2 2^x$
Guarda bene i tuoi passaggi e ti accorgerai di aver applicato anche una proprietà fantasma... ciao
[xdom="Martino"]Sposto in Secondaria II grado. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Guarda ,
$log_\pi((4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1) >0$
e quindi
$(4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1>(\pi^0)=1 => (4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)>0$
e...... poi continua te. (che proprietà dei logaritmi ho usato?)
e poi se proprio si vuole essere formali, la condizione che si deve imporre al logaritmo è :
$(4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1 >= 1$ .
$log_\pi((4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1) >0$
e quindi
$(4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1>(\pi^0)=1 => (4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)>0$
e...... poi continua te. (che proprietà dei logaritmi ho usato?)
e poi se proprio si vuole essere formali, la condizione che si deve imporre al logaritmo è :
$(4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1 >= 1$ .
"Kashaman":
la condizione che si deve imporre al logaritmo è :$... >= 1$ .
Perchè? la disuguaglianza da risolvere è stretta
"Kashaman":
Guarda ,
$log_\pi((4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1) >0$
e quindi
$(4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1>(\pi^0)=1 => (4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)>0$
e...... poi continua te. (che proprietà dei logaritmi ho usato?)
e poi se proprio si vuole essere formali, la condizione che si deve imporre al logaritmo è :
$(4^x-2^x+1)/(9^x-4+3^x+1)+1 >= 1$ .
La proprietà che il primo logaritmo è maggiore del secondo se l'argomento del primo è maggiore dell'argomento del secondo. In questo caso è così per $pi>1$...
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