Disequazione esponenziale....

[kioccolatino90]

buona sera ho una disequazione molto semplice, e io mi sto perdendo in un tappo d'acqua....

la disequazione è $x/(x+1)*e^(x/(2x-1))>=0$ ora come posso impostare per partire? io ho imposto che $x/(x+1)>=0$ e che $e^(x/(2x-1))>=0$ per la prima:

$x/(x+1)>=0$ quando $x>=0$ e $x+1>0 rarr x>=0 e x> -1$

per la seconda:

$e^(x/(2x-1))>=0$ è positiva quando $x/(2x-1)>=0$ e quindi quando $2x-1>0 rarr x>1/2$

matto queste tre soluzioni sull'asse reale e mi esce che che è soddisfatta per $-11/2$ però non si trova deve uscire $x<-1$, $x>=0$ con $x!=1/2$ dove ho sbagliato?

[giammaria2]

Sbagli nella seconda: una potenza con base positiva è sempre positiva (purché esista, e dalla sua esistenza deriva $x!=1/2$). Ad esempio $2^(-3)=1/(2^3)=1/8$.
Inoltre la soluzione di $x/(x+1)>=0$ non è quella che dici perché occorre ancora fare il suo grafico dei segni; in questo caso ha poca importanza perché lo si può conglobare nel successivo grafico dei segni, ma allora avresti dovuto esprimerti in modo diverso.

[kioccolatino90]

ok ho capito... mentre se era un'equazione cioè $x/(x+1)e^(x/(2x-1))=0$ tale equazione è verifata soltanto quando $x/(x+1)=0$ oppure quando $e^(x/(2x-1))=0$ in entrambi i casi diciamo che è lo stesso di prima ovvero si deve soddisfare la condizione di esistenza e poi si deve verificare, in questo caso, che il numeratore delle frazioni soddisfi l'uguaglianza.... $x=0$ per la prima e $x=0$ per la seconda e quindi $x=0$....giusto?

[giammaria2]

Ripeto: purché esista, una potenza con base positiva è sempre positiva; questa frase va intesa in senso stretto, cioè non può neanche annullarsi (può tendere a zero, ma questa è un'altra cosa). Di conseguenza anche se fosse un'equazione il ragionamento non cambierebbe.
Verifica: se $x=0$ allora $e^(x/(2x-1))=e^0=1$

[kioccolatino90]

capito il fatto che può tendere a zero, cioè per $x$ molto piccole esso tende a zero.... Cioè dato che il numero di Nepero è sicuramente positivo allora per $x$ che tende a meno infinito $e^x$ va a $-oo$ e di conseguenza tende a zero.. giusto?

[giammaria2]

Mi pare che tu abbia l'idea giusta, ma il tuo modo di esprimerla è sbagliato: parlando di $x$ molto piccole si pensa che tendano a zero e non a $-oo$ come dici dopo. Inoltre dire "va a $-oo$ e di conseguenza tende a zero" è un controsenso: la parola "va" è di solito usata come sinonimo di "tende" e non si può tendere contemporaneamente ad entrambi i valori.
Quasi certamente volevi dire (ed è giusto) "quando $x$ tende a $-oo$, $e^x$ tende a zero".

[kioccolatino90]

si si così volevo dire...

[kioccolatino90]

Ma se ad esempio abbiamo, $e^(|x|/(x-1)^2)=0$ questo, per quello detto in precedenza, vuol dire che non si annulla mai quindi l'equazione non è verificata?

[Albert Wesker 27]

Esatto.

[kioccolatino90]

dunque geometricamente non interseca l'asse delle $x$?

[Albert Wesker 27]

Certo, non interseca mai l'asse delle ascisse.

[kioccolatino90]

Ok...Avrei un problema con un esercizio simile ho la funzione esponenziale $e^(2x-|x^2+x-2|)$ è sempre definita in tutto $RR$ però se la separo in:

$y_1=e^(2x-(x^2+x-2))$ e $y_2=e^(2x-(-x^2-x+2)$ il dominio, ad esempio per la prima $e^(-x^2+x+2)$ è tutto $RR$ o è $x<=-2uuu x>=1$?

[@melia]

Non hai due funzioni, ma un'unica funzione definita a tratti $f(x)={(e^(2x-(x^2+x-2)),if x<=-2 vv x>=1),(e^(2x-(-x^2-x+2)),if -2

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[kioccolatino90]

quindi una è definita in un tratto e una in un altro....che nel complesso è definita in tutto $RR$...

[@melia]

esattamente

[kioccolatino90]

ho un altro dubbio che non riesco a capire e risolvere....nell'intervallo $-2

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[@melia]

No, è un errore tuo