Disequazione esponenziale

[ermes*11]

E' corretta la mia fattorizzazione?

4^(2x+1) - 7/3 * 9^x > 7 * 3^2x + 16^(x-1)

A questo punto ho messo in evidenza le moltiplicazioni tra potenze

4^2x * 4 - 7/3 * 3^2x -7 * 3^2x - 4 ^2x * 4^-1>0

ed effettuato un raccoglimento parziale

4 (4^2x - 4^2x * 4^-3) - 7(1/3 * 3^2x - 3^2x)>0

(4 - 7) (4^2x - 4^2x * 4^-3) (1/3 * 3^2x - 3^2x)>0

-3 (4^2x - 4^2x * 4^-3) ( 1/3 * 3^2x - 3^2x) >0

A questo punto, stabilito che il primo fattore (-3) è sempre negativo, analizzo gli altri due:

I fatt.

4^2x - 4^2x * 4^-3>0

4^2x = t

t - t/64>0; 63/64 t > 0; t >0; 4^2x>0; 2x>log_4 (0); 2x>1; x>1/2

II fatt.

1/3 * 9^x - 9^x>0

9^x=t

1/3t-t>0;

-2/3t>0; t>0;

9^x>0; x>log_9 (0); x>1

Ebbene, nel grafico dei segni avrei

S: (1/2; 1), che non è esattamente la soluzione fornitami dal testo (secondo il quale S: (3/2; + oo). Dov'è errore?

[MaMo2]

"ermes*":E' corretta la mia fattorizzazione?
....
4 (4^2x - 4^2x * 4^-3) - 7(1/3 * 3^2x - 3^2x)>0

(4 - 7) (4^2x - 4^2x * 4^-3) (1/3 * 3^2x - 3^2x)>0
.....

L'errore è in questo passaggio.

[Camillo]

Ma c'è anche una svista in questo passaggio :

$ 16^(x-1) ----> 4^(2x)*4^(-1) $ mentre è ----->$ 4^(2x)*4^(-2)$

[ermes*11]

"MaMo":L'errore è in questo passaggio.

Mi sembrava di aver fatto una corbelleria in quel raccoglimento... Il mio cruccio è la compresenza di potenze con basi diverse (9^x e 4^2x). Contavo di ottenere due fattori diversi in modo da poterne analizzare uno alla volta, stabilendo che 9^x prima, e 4^2x poi, valessero t. Avrei così potuto risolvere la disequazione senza problemi. Che fare?
Grazie in anticipo,
Andrea

[ermes*11]

"camillo":Ma c'è anche una svista in questo passaggio :

$ 16^(x-1) ----> 4^(2x)*4^(-1) $ mentre è ----->$ 4^(2x)*4^(-2)$

Già!
Grazie

[MaMo2]

"ermes*":
.....
Che fare?
Grazie in anticipo,
Andrea

Semplificando gli esponenti e raccogliendo si trova:
$(9/16)*4^(2x)-(4/3)*3^(2x)>0$
Dividendo per $3^(2x)$ si ottiene:
$(4/3)^(2x)>64/27$
Cioè, essendo $4/3>1,$:
$(4/3)^(2x)>(4/3)^3=>2x>3=>x>3/2$

[ermes*11]

"MaMo":Semplificando gli esponenti e raccogliendo si trova:
$(9/16)*4^(2x)-(4/3)*3^(2x)>0$
Dividendo per $3^(2x)$ si ottiene:
$(4/3)^(2x)>64/27$
Cioè, essendo $4/3>1,$:
$(4/3)^(2x)>(4/3)^3=>2x>3=>x>3/2$

Grandioso...Grazie!