Disequazione esponenziale.

[Stillife]

Ciao a tutti,
ho difficoltà con la seguente disequazione esponenziale di cui propongo due svolgimenti::

$x^sqrtx<=(sqrtx)^x$

------

$x^sqrtx<=(sqrtx)^x$

Riscrivo come:

$x^sqrtx<=(x^(1/2))^x$

$x^sqrtx<=x^(x/2)$

Eguaglio gli esponenti

$sqrtx<=x/2$

Risolvo dunque il sistema:

${(x>0) ,(x<=x^2/4):}$

(non scrivo $x>=0$ poichè sarebbe $0^0$ che non è definita)

Ottengo dunque come soluzione $x>=4$

----

Usando i logaritmi:

$log(x^sqrtx)-log(sqrtx)^x<=0$

$sqrtxlog(x)-x/2log(x)<=0$

$log(x)(sqrtx-x/2)<=0$

ottengo come soluzioni $0=4$

Ora, come mai col primo approccio ottengo soluzione parziale? Forse perchè in questo caso non bisogna limitarsi ad egualgliare gli esponenti in quanto non ci sono note le basi e dunque la disequazione potrebbe cambiare?

[axpgn]

Forse perché l'andamento di un esponenziale con base minore di $1$ è diverso da quello con la base maggiore di $1$?
Ovvero la disequazione cambia di verso da un caso all'altro.


Cordialmente, Alex

[Stillife]

Infatti!

La funzione esponenziale $y=a^x$ è strettamente crescente per $a>1$, strettamente decrescente per $0

Cita

Segnala

[axpgn]

Basta distinguere i casi, maggiore di uno e minore di uno ...

[Stillife]

Grazie per l'aiuto.

Per risolvere dunque impostiamo due sistemi:

${(x>0) ,(x>1),(x<=x^2/4):}$

${(x>0) ,(0=x^2/4):}$

[axpgn]

Sì, se vuoi risolverla così.