Disequazione esponenziale

[Noctis Lucis Caelum]

Non riesco a capire cosa sbaglio, ho questa disequazione
$ root(2x+3)(((2) / (3))^(3x)) >= ((2)/(3))^3\cdot root(x+2)(((3) / (2))^-x) $
che riduco a
$ (2/3)^((3x)/(2x+3)) >= (2/3)^(3+(x)/(x+2)) $
quindi confronto gli esponenti invertendo il segno e dopo diversi calcoli ho:
$ (5x^2+18x+18)/((2x+3)(x+2)) >=0 $
faccio il grafico dei segni e alla fine mi ritrovo:
$ x<= -2 vv x>= -3/2 $
mentre sul libro mi porta
$ x>= -3/2, x in ZZ $
cosa ho sbagliato? e perché mi dice $x in ZZ$ ?

[@melia]

I tuoi calcoli sono esatti, ma gli indici di una radice devono essere interi e positivi. Per $x<-2$ gli indici sono negativi, quindi questa soluzione è da scartare, mentre per $x>=-3/2$ sono positivi, però devono essere anche interi, questo si ottiene ogni volta che $x>=-3/2 ^^ 2x in ZZ$.
Sei sicuro che la soluzione del libro sia quella scritta da te e non quella che ho riportato io?

[Noctis Lucis Caelum]

"@melia":I tuoi calcoli sono esatti, ma gli indici di una radice devono essere interi e positivi. Per $x<-2$ gli indici sono negativi, quindi questa soluzione è da scartare, mentre per $x>=-3/2$ sono positivi, però devono essere anche interi, questo si ottiene ogni volta che $x>=-3/2 ^^ 2x in ZZ$.
Sei sicuro che la soluzione del libro sia quella scritta da te e non quella che ho riportato io?

Avevo pensato anch'io fosse per gli indici, ma non ho capito perché devono essere >0 e interi:

$ root(-2)(9)=9^(1/-2)=1/9^(1/2)=1/3 $
Perché non va bene?

EDIT: Sì è proprio quella la soluzione del libro

[@melia]

Perché la definizione di radice parla solo di indici interi e maggiori di 1, in caso diverso si parla di funzione esponenziale.

[Noctis Lucis Caelum]

"@melia":Perché la definizione di radice parla solo di indici interi e maggiori di 1, in caso diverso si parla di funzione esponenziale.

Capito, grazie mille