Disequazione esponenziale
Ho la seguente disequazione esponenziale...
$4^(1/x)>2$
In realtà la traccia originale è radice di indice x di 4 ma il modo in cui l'ho scritta, credo, è equivalente...
Anche perchè in simboli non so farlo qui
ho qualche dubbio sulla risoluzione....
Naturalmente la disequazione può essere riscritta nella forma:
$2^(2/x)>2$
da cui
$2/x >1 $
Soluzioni
$ 0
Consigli?
$4^(1/x)>2$
In realtà la traccia originale è radice di indice x di 4 ma il modo in cui l'ho scritta, credo, è equivalente...
Anche perchè in simboli non so farlo qui
ho qualche dubbio sulla risoluzione....
Naturalmente la disequazione può essere riscritta nella forma:
$2^(2/x)>2$
da cui
$2/x >1 $
Soluzioni
$ 0
Consigli?
Risposte
Ciao, tutto quello che dici è giusto ma la chiave sta proprio qui
Infatti l'indice di un radicale deve essere un numero naturale diverso da $0$, quindi alla fine l'unica soluzione accettabile è $x=1$.
"NoRe":
In realtà la traccia originale è radice di indice x di 4 ma il modo in cui l'ho scritta, credo, è equivalente...
Infatti l'indice di un radicale deve essere un numero naturale diverso da $0$, quindi alla fine l'unica soluzione accettabile è $x=1$.
Mi ero perso questo passaggio! fin ora non mi ero mai chiesto perchè l'indice dve per forza essere intero!
ma ora lo chiedo a voi...
perchè?
ma ora lo chiedo a voi...
perchè?
La prima cosa che mi viene in mente è questa: $3/2$ è pari o dispari? Non si sa, nel senso che le parole "pari" e "dispari" hanno senso solo se si parla di numeri naturali (al limite potrebbero forse essere estese ai relativi, cioè all'insieme $ZZ$).
Quindi se trovi $root(3/2)x$ come fai a stabilire il dominio?
Non so se questo sia l'unico motivo (probabilmente no)... aspettiamo qualche altro intervento!
Quindi se trovi $root(3/2)x$ come fai a stabilire il dominio?
Non so se questo sia l'unico motivo (probabilmente no)... aspettiamo qualche altro intervento!
Il vero motivo è la definizione di radice, che richiede che l'indice sia un naturale diverso da zero. Se poi ci si domanda il perché di questa definizione, una risposta può essere quella di minomic; un'altra è che storicamente le radici sono nate con indici naturali e si è deciso di mantenerle solo in quel caso, mentre negli altri casi si usa $a^x$.
@NoRe: $root(x)4$ si scrive \$root(x)4\$
@NoRe: $root(x)4$ si scrive \$root(x)4\$
"giammaria":
@NoRe: $root(x)4$ si scrive \$root(x)4\$
Un consiglino: abituati a mettere la doppia parentesi (che tanto male non fa in LaTeX), cioè \root(x)(4). Quando devi scrivere qualcosa di voluminoso, dopo rimangono i "pezzi" fuori
.Se scrivi \root(x)x-2 ottieni $\root(x)x-2$ mentre se scrivi \root(x)(x-2) ottieni un $\root(x)(x-2)$.
Non condivido: quando la formula è complicata e richiede molte parentesi, tutte tonde, mi succede spesso di chiuderne una di troppo o una di meno e quindi preferisco usarle solo se indispensabili. E' ovvio che nel tuo esempio le metterei; in altri casi, direi che è questione di gusti.
"giammaria":
è questione di gusti.
Infatti, però ho esposto questo mio "consiglino" solo perché quando ho imparato quel comando mi venivano tutte radici "spezzettate"...
Poi l'utente è padrone di sé stesso, no?
Quindi scusate ma se il testo fosse stato proprio $4^(1/x)>2$ allora sarebbe stata giusta la soluzione di NoRe?
"marcosocio":
Quindi scusate ma se il testo fosse stato proprio $4^(1/x)>2$ allora sarebbe stata giusta la soluzione di NoRe?
Eh sì! Diciamo che il passaggio da radicale a forma esponenziale lo puoi fare solo se il radicale è definito, quindi solo per $x in NN$. Per l'esponenziale invece se la trovi già così non c'è problema poichè il dominio è $x in RR - {0}$.
In conclusione sono due espressioni che analiticamente sono equivalenti ma sono definite su domini diversi, quindi hanno soluzioni diverse.
Tra l'altro questo dei domini è un vecchio tranello, sul quale se volete posso riportare qualche esempio...
Quindi è una questione di definizione?
La risposta di minomic non mi soddisfa, comunque
I matematici, di solito molto eleganti, credo, non avrebbero limitato l'indice di una radice ai numeri Naturali, solo per il motivo di pari o dispari...
Boh... Probabilmente ho detto una fesseria
La risposta di minomic non mi soddisfa, comunque
I matematici, di solito molto eleganti, credo, non avrebbero limitato l'indice di una radice ai numeri Naturali, solo per il motivo di pari o dispari...
Boh... Probabilmente ho detto una fesseria
"NoRe":
La risposta di minomic non mi soddisfa, comunque
I matematici, di solito molto eleganti, credo, non avrebbero limitato l'indice di una radice ai numeri Naturali, solo per il motivo di pari o dispari...
Mi dispiace molto che la mia risposta non ti abbia soddisfatto!
A parte gli scherzi non è solo una questione di eleganza... è una questione di esistenza! Prova a tracciare il grafico di $root(1/2) x$: non ce la farai poichè non sai nemmeno indicare il dominio.
Ti faccio un altro esempio: si dice che la base di un'esponenziale debba essere maggiore di $0$ e diversa da $1$. Eppure sappiamo calcolare anche $(-1)^2$ nonostante la sua base sia minore di zero... Quindi uno si chiede "perchè si deve imporre la base maggiore di zero?". Ma che mi dici di $(-1)^(3/2)$? Qual è il suo segno?
Interessante! Altri esempi non mi dispiacerebbero ma rischiamo di andare un po' OT...
Li butto lì, poi se mai li approfondiamo da un'altra parte: dopotutto sono collegati a questo fatto del "poter riscrivere una cosa come un'altra solo se..."
Si dica se i grafici delle seguenti coppie di funzioni sono gli stessi:
$y=log(x^2-1)$ con $y=log(x+1)+log(x-1)$
$y=x+1, x in NN$ con $y=x+1, x in RR$.
Si dica se i grafici delle seguenti coppie di funzioni sono gli stessi:
$y=log(x^2-1)$ con $y=log(x+1)+log(x-1)$
$y=x+1, x in NN$ con $y=x+1, x in RR$.
Direi che i primi due sono diversi perchè: $y=\log(x^2-1)$ ha come dominio $(-infty, -1)\cup(1, +infty)$ mentre quello di $y=\log(x+1)+\log(x-1)$ è solo $(1, +infty)$ e gli altri due perchè $y=x+1, x\in\mathbb{R}$ è una retta con tutti i punti mentre $y=x+1, x\in\mathbb{N}$ ha come punti solo quelli con coordinate $\in\mathbb{N}$ immagino... Giusto?
"marcosocio":
Direi che i primi due sono diversi perchè: $y=\log(x^2-1)$ ha come dominio $(-infty, -1)\cup(1, +infty)$ mentre quello di $y=\log(x+1)+\log(x-1)$ è solo $(1, +infty)$ e gli altri due perchè $y=x+1, x\in\mathbb{R}$ è una retta con tutti i punti mentre $y=x+1, x\in\mathbb{N}$ ha come punti solo quelli con coordinate $\in\mathbb{N}$ immagino... Giusto?
Giustissimo!
Quindi, per ricollegarci al tema del topic, possiamo dire che le equazioni $log (x^2-1)=...$ e $log(x+1)+log(x-1)=...$ avranno in generale soluzioni diverse, poichè sono definite su domini diversi.
Non si finisce mai d'imparare! Va be' io ho ancora molti anni di studio all'orizzonte...
"minomic":
[quote="NoRe"]La risposta di minomic non mi soddisfa, comunque
I matematici, di solito molto eleganti, credo, non avrebbero limitato l'indice di una radice ai numeri Naturali, solo per il motivo di pari o dispari...
Mi dispiace molto che la mia risposta non ti abbia soddisfatto!
A parte gli scherzi non è solo una questione di eleganza... è una questione di esistenza! Prova a tracciare il grafico di $root(1/2) x$: non ce la farai poichè non sai nemmeno indicare il dominio.
Ti faccio un altro esempio: si dice che la base di un'esponenziale debba essere maggiore di $0$ e diversa da $1$. Eppure sappiamo calcolare anche $(-1)^2$ nonostante la sua base sia minore di zero... Quindi uno si chiede "perchè si deve imporre la base maggiore di zero?". Ma che mi dici di $(-1)^(3/2)$? Qual è il suo segno?
[/quote]appunto, dico, perchè non ci comportiamo come con la funzione esponenziale?
"NoRe":
[quote="minomic"][quote="NoRe"]La risposta di minomic non mi soddisfa, comunque
I matematici, di solito molto eleganti, credo, non avrebbero limitato l'indice di una radice ai numeri Naturali, solo per il motivo di pari o dispari...
Mi dispiace molto che la mia risposta non ti abbia soddisfatto!
A parte gli scherzi non è solo una questione di eleganza... è una questione di esistenza! Prova a tracciare il grafico di $root(1/2) x$: non ce la farai poichè non sai nemmeno indicare il dominio.
Ti faccio un altro esempio: si dice che la base di un'esponenziale debba essere maggiore di $0$ e diversa da $1$. Eppure sappiamo calcolare anche $(-1)^2$ nonostante la sua base sia minore di zero... Quindi uno si chiede "perchè si deve imporre la base maggiore di zero?". Ma che mi dici di $(-1)^(3/2)$? Qual è il suo segno?
[/quote]appunto, dico, perchè non ci comportiamo come con la funzione esponenziale?[/quote]
Ma infatti è più o meno quello che stiamo facendo! Imponiamo certe condizioni in modo da non ritrovarci casi che non riusciamo a trattare...
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