Disequazione esponenziale

[matematicus95]

ho la seguente disequazione $root(2x)(|4^x-12|)>=root(x)2$
non so come devo togliere il modulo e quel 2x sopra la radice ,mi potreste aiutare per favore?

[giammaria2]

Prima di avere una risposta devi dimostrare di averci ragionato. Ti do un punto di partenza: comincia a pensare alla radice. Qual è il metodo abituale per eliminare le radici?

[matematicus95]

si può elevare tutto alla 2x? per quale principio?

[giammaria2]

Perché se due grandezze sono uguali, sono uguali anche le loro potenze, con qualsiasi esponente. Se le grandezze sono positive (o se si eleva a potenza dispari, ma questo ora non ci interessa) vale anche l'inverso.

[matematicus95]

così mi viene $4^x-12<=-2^x vv 4^x-12>=2^x$ che però non si trova, il libro mi da come soluzione tutti i numeri naturali tranne 0 . come devo fare(ancora non ho fatto i logaritmi)? come ha fatto a passare da numeri reali a numeri naturali?visto che la soluzione si deve cercare nei numeri reali

[giammaria2]

Comincia ad elevare a $2x$; a secondo membro ottieni $2^2=4$. Quindi la tua disequazione equivale a

$4^x-12<=-4 vv 4^x-12>=4$
La prima disequazione si risolve con $4^x<=8=>2^(2x)<=2^3=>2x<=3=>x<=3/2$
e la seconda con $4^x>=16=>4^x>=4^2=>x>=2$
e con i numeri reali la soluzione sarebbe l'unione di quelle trovate. L'indice di radice deve però essere sempre un numero naturale, quindi ci vanno bene i naturali che soddisfano una di quelle condizioni, cioè tutti.

[matematicus95]

perchè l'indice di radice non può essere anche $2/3$ ,e poi perchè il libro esclude lo 0

[giammaria2]

Una radice di indice 0 non ha senso. Per quanto riguarda gli altri numeri, si potrebbe anche dire che, detto $a$ un numero positivo, sia sempre $root(x)a=a^(1/x)$ ma si è stabilito di usare le radici solo quando il loro indice è un intero positivo.
Se $x$ non lo è, si usa solo la forma $a^(1/x)$; l'altra sarebbe un inutile doppione.

[matematicus95]

potresti spiegarmi meglio per favore?
grazie

[giammaria2]

Debbo sapere da dove iniziare: conosci gli esponenti frazionari? Ti è familiare la formula $root(n)a=a^(1/n)$?

[matematicus95]

sisi li conosco.
grazie per la tua pazienza

[giammaria2]

Ed allora partiamo dalla formula in questione, cioè $root(n)a=a^(1/n)$: questa dice che le radici sono inutili, perché al loro posto potrei sempre usare le potenze con esponente frazionario. Tuttavia il concetto di radice è nato prima degli esponenti frazionari e quindi si è deciso di mantenerle, limitando però il loro uso ai casi per cui erano nate e cioè a quelli in cui l'indice è un intero positivo. Se $n$ è un numero di altro tipo, ad esempio una frazione o un numero negativo, la formula $a^(1/n)$ ha senso e può essere usata, mentre si considera priva di senso la $root(n) a$.

[matematicus95]

grazie mille per la tua spiegazione ,ho capito tutto!

[matematicus95]

e se invece ho $(4/5)^2(5/4)^x<=root(x+2)(5/4)$ il libro mi da come soluzione $-2<=x<=sqrt(5)$ con $x in ZZ$ perchè ora escono fuori i numeri relativi?

[giammaria2]

Perché si è sbagliato; spero che almeno non ci sia l'uguale al -2, altrimenti l'errore sarebbe grave. La condizione è che $x+2$ sia intero (e quindi deve esserlo $x$) e positivo (e quindi $x> -2$); intersecandola con la soluzione $-sqrt5<=x<=sqrt5$ ottieni che le soluzioni sono i numeri $-1;0;1;2$. Forse il tuo libro sottintendeva che fossero i numeri interi inclusi in quell'intervallo (ma $-2$ va proprio escluso).