Disequazione e valori negativi
$x^2/(4-x^2) <=0$
il numeratore ha come valori $x^2<=0$ che ha come una soluzione $x=0$ essendo sempre positiva.
Il denominatore ha come valori $4-x^2 <= 0$ ha soluzioni in $-2
x=0 ______________0__________________
x>2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_______
x>-2 _ _ _ _ -2________________________
________+__________-_____________+
quindi solo tra -2 e 2 i valori sono negativi come richiesto (aggiungendo il valore ${0}$)
ma, come al solito, non è così perché la soluzione è: $x<-2$ e $x>2$ unito ${0}$
La disequazione non è formulata per trovare i valori negativi, allora perché considera i valori positivi?
Una disequazione simile potrebbe essere:
$x/(4-x^2) <=0$
x<=0 ______________0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
x>2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_______
x>-2 _ _ _ _ -2________________________
________+_______-_______+_______-
analizzando devo vedere dove è negativa quindi: $-22$
Il ragionamento da farsi per quest'ultima non è lo stesso per quella iniziale, cosa cambia?
Grazie
il numeratore ha come valori $x^2<=0$ che ha come una soluzione $x=0$ essendo sempre positiva.
Il denominatore ha come valori $4-x^2 <= 0$ ha soluzioni in $-2
x=0 ______________0__________________
x>2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_______
x>-2 _ _ _ _ -2________________________
________+__________-_____________+
quindi solo tra -2 e 2 i valori sono negativi come richiesto (aggiungendo il valore ${0}$)
ma, come al solito, non è così perché la soluzione è: $x<-2$ e $x>2$ unito ${0}$
La disequazione non è formulata per trovare i valori negativi, allora perché considera i valori positivi?
Una disequazione simile potrebbe essere:
$x/(4-x^2) <=0$
x<=0 ______________0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
x>2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_______
x>-2 _ _ _ _ -2________________________
________+_______-_______+_______-
analizzando devo vedere dove è negativa quindi: $-2
Il ragionamento da farsi per quest'ultima non è lo stesso per quella iniziale, cosa cambia?
Grazie
Risposte
Se hai $4-x^2<=0$ allora le soluzioni sono $x>=2$ e $x<=-2$. Ma siccome questa espressione compare a denominatore, non possiamo uguagliarla a zero e quindi consideriamo la disequazione con il solo segno $<$ (con, mutatis mutandis, risultati analoghi).
Quindi la soluzione per la prima disequazione e' $x>2$, $x<-2$ e $x=0$.
La seconda disequazione che poni ha il numeratore che puo' essere negativo e pertanto lo studio va fatto sempre tenendo conto del segno del numeratore e del denominatore.
Suggerisco sempre a chiunque si accinga a studiare le disequazioni fratte $<=0$ di risolvere l'analoga disequazione $>=0$, farne il grafico e vedere dove numeratore e denominatore sono discordi. Quei punti sono quelli della soluzione dell'equazione di partenza.
P.S.
Le soluzioni per la seconda disequazione infatti sono $-22$.
Quindi la soluzione per la prima disequazione e' $x>2$, $x<-2$ e $x=0$.
La seconda disequazione che poni ha il numeratore che puo' essere negativo e pertanto lo studio va fatto sempre tenendo conto del segno del numeratore e del denominatore.
Suggerisco sempre a chiunque si accinga a studiare le disequazioni fratte $<=0$ di risolvere l'analoga disequazione $>=0$, farne il grafico e vedere dove numeratore e denominatore sono discordi. Quei punti sono quelli della soluzione dell'equazione di partenza.
P.S.
Le soluzioni per la seconda disequazione infatti sono $-2
Ciò che normalmente si fa quando si risolve una disequazione fratta è lo studio del segno dei singoli fattori che la compongono, in questo caso numeratore e denominatore. Perché? Perché a priori non conosciamo il valore della x e con le disuguaglianze si deve stare attenti a moltiplicare o dividere perché potrebbe cambiare il verso. Una strada differente è appunto quella dello studio del segno di numeratore e denominatore, che si conclude col compilare quella tabella che hai disegnato e capire qual è il segno complessivo della frazione. In genere ci si riduce ad una forma f(x)/g(x)>0/<0 (naturalmente anche maggiore uguale, minore uguale). Di solito si procede ponendo sia numeratore che denominatore maggiori di 0, ma voglio continuare come hai fatto tu. Avevi cioè:
$ x^2/(4-x²)<=0 $
Quindi hai posto:
$ x^2<=0 $
E attenzione per il denominatore, dove non c'è mai l'uguale a 0 (violerebbe le condizioni di esistenza)!
$ 4-x^2<0 $
Tali condizioni non vanno viste come messe a sistema, ovvero non si deve pensare che deve valere una condizione e l'altra, ma si devono interpretare come soluzioni separate di cui ci importa solo il segno, che compileremo all'interno della tabella. Abbiamo:
$ x^2<=0 $ verificata solo per x=0. Per tutti gli altri valori, avremo che $ x^2>0 $
Per il denominatore invece si procede così
$ 4-x²<0rArr x²-4>0rArrx²>4rArr x<-2vv x>2 $
Allora la tabella compilata apparirà così:
[url=https://i.imgur.com/cPnjLz5.png]
In conclusione x<-2 o x=0 o x>2
Il tuo errore è forse porre una generica f(x)<0 e poi, ottenute le soluzioni, disegnare nello studio del segno un tratto continuo (che corrisponde al segno +) al posto di un insieme di trattini, ovvero il segno -, che corrisponde ai valori negativi trovati risolvendo f(x)<0.
Per la seconda disequazione il discorso è del tutto analogo. In conclusione, procedere ponendo numeratore e denominatore maggiori o minori di 0 non fa differenza... L'importante è rimanere coerenti nel ragionamento e nella rappresentazione successiva per evitare errori
$ x^2/(4-x²)<=0 $
Quindi hai posto:
$ x^2<=0 $
E attenzione per il denominatore, dove non c'è mai l'uguale a 0 (violerebbe le condizioni di esistenza)!
$ 4-x^2<0 $
Tali condizioni non vanno viste come messe a sistema, ovvero non si deve pensare che deve valere una condizione e l'altra, ma si devono interpretare come soluzioni separate di cui ci importa solo il segno, che compileremo all'interno della tabella. Abbiamo:
$ x^2<=0 $ verificata solo per x=0. Per tutti gli altri valori, avremo che $ x^2>0 $
Per il denominatore invece si procede così
$ 4-x²<0rArr x²-4>0rArrx²>4rArr x<-2vv x>2 $
Allora la tabella compilata apparirà così:
[url=https://i.imgur.com/cPnjLz5.png]
In conclusione x<-2 o x=0 o x>2
Il tuo errore è forse porre una generica f(x)<0 e poi, ottenute le soluzioni, disegnare nello studio del segno un tratto continuo (che corrisponde al segno +) al posto di un insieme di trattini, ovvero il segno -, che corrisponde ai valori negativi trovati risolvendo f(x)<0.
Per la seconda disequazione il discorso è del tutto analogo. In conclusione, procedere ponendo numeratore e denominatore maggiori o minori di 0 non fa differenza... L'importante è rimanere coerenti nel ragionamento e nella rappresentazione successiva per evitare errori
tutto chiaro e grazie dei consigli!
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