Disequazione e cambiamento del verso.
Ciao!
Mi sto esercitando con disequazioni e radicali ed ho questo dubbio:
Risolvendo questa disequazione:
$(x-sqrt(2))/2<=(2x-sqrt(3))/sqrt2$
ottengo:
$x<=(2-sqrt(12))/(sqrt(2)-4)$
che razionalizzando diventa:
$x<=(sqrt(2)+4-sqrt(6)-4sqrt(3))/-7$
A questo punto, ciò che vorrei chiedere concerne il cambiamento del verso della disequazione.
Se volessi scrivere quest'ultima frazione come :
$(-sqrt(2)-4+sqrt(6)+4sqrt(3))/7$
devo necessariamente cambiare il verso? Io direi di no, in quanto equivale a moltiplicare ambo i membri per $(-1)/-1$ ovvero una quantità positiva che non cambia il segno della frazione.
È corretto?
Mi sto esercitando con disequazioni e radicali ed ho questo dubbio:
Risolvendo questa disequazione:
$(x-sqrt(2))/2<=(2x-sqrt(3))/sqrt2$
ottengo:
$x<=(2-sqrt(12))/(sqrt(2)-4)$
che razionalizzando diventa:
$x<=(sqrt(2)+4-sqrt(6)-4sqrt(3))/-7$
A questo punto, ciò che vorrei chiedere concerne il cambiamento del verso della disequazione.
Se volessi scrivere quest'ultima frazione come :
$(-sqrt(2)-4+sqrt(6)+4sqrt(3))/7$
devo necessariamente cambiare il verso? Io direi di no, in quanto equivale a moltiplicare ambo i membri per $(-1)/-1$ ovvero una quantità positiva che non cambia il segno della frazione.
È corretto?
Risposte
Il cambiamento di verso della disequazione va fatto quando devi dividere per il cofficiente della x in
$x(sqrt2-4)<= 2-2sqrt3$
Il coefficiente $sqrt2-4$ è un numero negativo, quindi $x>=(2-2sqrt3)/(sqrt2-4)$, la seconda parte dei tuoi calcoli è corretta di per sè, ma contiene l'errore iniziale.
$x(sqrt2-4)<= 2-2sqrt3$
Il coefficiente $sqrt2-4$ è un numero negativo, quindi $x>=(2-2sqrt3)/(sqrt2-4)$, la seconda parte dei tuoi calcoli è corretta di per sè, ma contiene l'errore iniziale.
Attenzione, hai fatto un'errore di distrazione nell'esecuzione dei calcoli.
Abbiamo la disequazione $\frac{x-\sqrt{2}}{2}\leq \frac{2x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, da cui si ottiene, moltiplicando entrambi i membri per $2\sqrt{2}$, $x\sqrt{2}-2\leq 4x-2\sqrt{3}\Rightarrow 4x-\sqrt{2}x\geq 2\sqrt{3}-2\Rightarrow x(4-\sqrt{2})\geq 2\sqrt{3}-2\Rightarrow x\geq\frac{2\sqrt{3}-2}{4-\sqrt{2}}$. La razionalizzazione è poi corretta.
Riguardo alla tua domanda, la risposta è no, non bisogna cambiare il verso. Bisogna cambiare il verso di una disequazoine quando si moltiplicano, si dividono o si elevano i membri per un numero negativo. Come hai detto tu, per poter scrivere il membro destro in un'altra forma, basta moltiplicare entrambi i membri per $\frac{-1}{-1}=1$, che è numero positivo, per cui non si deve invertire il segno.
D'altro canto potresti anche pensarla in un'altra maniera: potresti raccogliere al numeratore e al denominatore $-1$ e poi semplificarli, ottenendo quello che volevi, senza dover effettuare qualche operazione ad entrambi i membri.
Abbiamo la disequazione $\frac{x-\sqrt{2}}{2}\leq \frac{2x-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, da cui si ottiene, moltiplicando entrambi i membri per $2\sqrt{2}$, $x\sqrt{2}-2\leq 4x-2\sqrt{3}\Rightarrow 4x-\sqrt{2}x\geq 2\sqrt{3}-2\Rightarrow x(4-\sqrt{2})\geq 2\sqrt{3}-2\Rightarrow x\geq\frac{2\sqrt{3}-2}{4-\sqrt{2}}$. La razionalizzazione è poi corretta.
Riguardo alla tua domanda, la risposta è no, non bisogna cambiare il verso. Bisogna cambiare il verso di una disequazoine quando si moltiplicano, si dividono o si elevano i membri per un numero negativo. Come hai detto tu, per poter scrivere il membro destro in un'altra forma, basta moltiplicare entrambi i membri per $\frac{-1}{-1}=1$, che è numero positivo, per cui non si deve invertire il segno.
D'altro canto potresti anche pensarla in un'altra maniera: potresti raccogliere al numeratore e al denominatore $-1$ e poi semplificarli, ottenendo quello che volevi, senza dover effettuare qualche operazione ad entrambi i membri.
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