Disequazione diagonali

[angela.russotto]

Un prisma ha un numero di diagonali compreso tra $ 12 $ e $ 90 $ (estremi esclusi). Quanti lati può avere ciascuna base?
Ragionamento:
Ho cercato di esprimere il numero delle diagonali sulla base del numero di vertici, $ d=(v(v-4))/2 $ e ho impostato delle disequazioni conoscendo il numero delle diagonali. Chiamando $ n $ il numero lati della base, $ n= v/2 $.
La soluzione che ottengo è sbagliata.

[axpgn]

Cosa si intende per "estremi esclusi"?

[angela.russotto]

E' specificato nel testo, si riferisce all'intervallo che comprende il numero delle diagonali. Infatti ho provato con ad esempio : $ (v(v-4))/2 < 90 $

[giammaria2]

Non dici quali sono le soluzioni tua e del libro, quindi non so chi ha ragione; ti do la mia, sperando che non ci siano errori.
Portando tutto ad $n$
$d=(v(v-4))/2=(2n(2n-4))/2=2n(n-2)$
e la limitazione è
$12<2n(n-2)<90->6 Risolvendo il sistema così ottenuto, per la soluzione positiva ho $3,8

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[angela.russotto]

La soluzione del libro non combacia, infatti è : $ 6<= n<= 11 $

[giammaria2]

Evidentemente il libro sta pensando alle sole diagonali interne, escludendo cioè quelle sulla superficie del prisma. Il loro numero è dato da $d_i=n(n-3)$ e ragionando come prima si arriva a $5,3 Non so perché si preocupi di dire "estremi esclusi": anche comprendendoli, la conclusione non cambia.

[angela.russotto]

Avevo provato a ipotizzare si riferisse alle diagonali interne, ma : $ d=(v(v-3))/2=(2n(2n-3))/2 $ quindi $ 12< (2n(2n-3))/2< 90 $ , $ 4<= n <= 7 $ . Dove sbaglio?

[giammaria2]

Sbag, nella formula di partenza; semplificando il 2, tu dici che $d_i=n(2n-3)$, mentre la formula giusta è $d_i=n(n-3)$. Te ne indico due dimostrazioni.
1) Degli $n$ segmenti che collegano un vertice su una base con quelli dell'altra base, uno è uno spigolo e due sono diagonali di facce laterali, quindi da quel vetice partono $n-3$ diagonali interne. Su quella base ci sono $n$ vertici, quindi $d_i=n(n-3)$.
2) Calcola quante duaginali ci sono sulla superficie: su ognuna delle $n$ facce laterali ce ne sono 2 e su ognuna delle due basi ce ne sono $(n(n-3))/2$. Fai poi la differenza fra le diagonali totali e quelle sulla superficie.

[angela.russotto]

Non capisco perchè la formula è concettualmente sbagliata. Ragiono sui vertici, per ogni vertice ho $ v-3 $ diagonali interne che devo dimezzare per non contarle due volte. I vertici sono il doppio dei lati di una base quindi $ v=2n $, sostituisco ecc.
Vuol dire che considerare i vertici "totali" porta ad una scrittura sbagliata e quindi devo ragionare considerando semplicemente i vertici di una sola base?

[giammaria2]

Per ogni vrtice non hai $v-3$ diagonali interne; queste collegano i vertici di una base con quelli dell'altra, e quindi sono $n-3$ per ogni vertice.. Se poi vuoi pensare a tutti i vertici, i calcoli sono
$(v(n-3))/2=(2n(n-3))/2=n(n-3)$
Quanto all'ultima domanda, considerare i vertici "totali" è pericoloso; di solito è meglio pensare ad una base per volta.

[angela.russotto]

"giammaria":Per ogni vrtice non hai $v-3$ diagonali interne; queste collegano i vertici di una base con quelli dell'altra, e quindi sono $n-3$ per ogni vertice.

Giusto...Adesso ho capito, grazie mille Giammaria.