Disequazione di secondo grado generalizzata
salve a tutti ho un piccolo problema con l'equazione di secondo grado decomposta considerando però l'associata e cioè:
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ora perchè si può decomporre come $a(x-x_1)(x-x_2)$?
posso dire che:
$ax^2+bx+c= a(x^2+b/a+c/a)= a(x^2-(x_1+x_2)+(x_1*x_2))$ perchè compaiono la proprietà della somma e del prodotto, ovvero so che $x_1+x_2= -b/a$ e che $x_1*x_2= c/a$ ma perchè la somma e il prodotto restituiscono questi temini? come lo posso spiegare?
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ora perchè si può decomporre come $a(x-x_1)(x-x_2)$?
posso dire che:
$ax^2+bx+c= a(x^2+b/a+c/a)= a(x^2-(x_1+x_2)+(x_1*x_2))$ perchè compaiono la proprietà della somma e del prodotto, ovvero so che $x_1+x_2= -b/a$ e che $x_1*x_2= c/a$ ma perchè la somma e il prodotto restituiscono questi temini? come lo posso spiegare?
Risposte
basta che provi a calcolare la somma e il prodotto delle soluzioni dell'equazione generica di II grado :
$x_1 + x_2 = (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a) + (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) = -b/a$
stessa cosa per il prodotto
$x_1 + x_2 = (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a) + (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) = -b/a$
stessa cosa per il prodotto
Nella pagina
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... atica.html
trovi la relazione che c'è tra le radici di un polinomio di secondo grado e i coefficienti del polinomio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... radici.pdf
Se vuoi approfondire, poi, c'è anche un file riguardante i polinomi di terzo grado:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _grado.pdf
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... atica.html
trovi la relazione che c'è tra le radici di un polinomio di secondo grado e i coefficienti del polinomio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... radici.pdf
Se vuoi approfondire, poi, c'è anche un file riguardante i polinomi di terzo grado:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _grado.pdf
ho provato con la moltiplicazione non mi trovo con il segno... : $(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)*(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ $rarr$ $(+b^2-b^2-4ac)/(4a^2)$ $rarr$ $(-4ac)/(4a^2)$ $rarr$ $-c/a$ quel meno da dove esce?????
grazie franced è interessante que link soprattutto l'articolo su fibonacci!!!!
grazie franced è interessante que link soprattutto l'articolo su fibonacci!!!!
$(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)*(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)=(+b^2-(b^2-4ac))/(4a^2)=(b^2-b^2+4ac)/(4a^2)= .....$
ok chiarissimo....
ma ora come procedo alla dimostrazione?
io sono arrivato a questo punto $a(x^2-(x_1+x_2)+(x_1*x_2))$ e non so proprio come partire, un piccolo aiutino?
ma ora come procedo alla dimostrazione?
io sono arrivato a questo punto $a(x^2-(x_1+x_2)+(x_1*x_2))$ e non so proprio come partire, un piccolo aiutino?
$a(x^2-(x_1+x_2)x+(x_1*x_2))=a(x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2)=a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)]=a(x-x_1)(x-x_2)$
ah ecco non avevo fatto bene la sostituzione.... non avevo inserito la $x$ per fare la moltiplicazione.....
però una cosa non mi è chiara arrivati a questo punto: $a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)]$ cosa si è fatto?
però una cosa non mi è chiara arrivati a questo punto: $a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)]$ cosa si è fatto?
Il raccoglimento a fattor comune di $(x-x_1)$
ah ho capito una messa in evidenza....
ora arrivati qua: $a[x(x-x_1)-x_2(x-x_1)]$ si è diviso?
No, ho solo raccolto a fattor comune il fattore, appunto, comune $x-x_1$
poi ho quest'altra dimostrazione in cui non mi sono chiari dei passaggi.....devo dimostrare perchè l'equazione $ax^2+bx+c=0$ da due radici $x_1$ e $x_2$...
$ax^2+bx+c=0$ da cui ho: $a(x^2+b/(a)x+c/a)=0$
ora si scrive il termine $b/(a)x$ come doppio prodotto $b/(a)x= 2(b/(2a)x)$ e per tanto diventa:
$a(x^2+2(b)/(2a)x+c/a)=0$
si aggiunge e si sottrare al primo termine $(b/(2a)x)^2$:
$a(x^2+2(b)/(2a)x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a)=0$
$a(x+b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a=0$
ora perchè questo passaggio cos'ha fatto?
$ax^2+bx+c=0$ da cui ho: $a(x^2+b/(a)x+c/a)=0$
ora si scrive il termine $b/(a)x$ come doppio prodotto $b/(a)x= 2(b/(2a)x)$ e per tanto diventa:
$a(x^2+2(b)/(2a)x+c/a)=0$
si aggiunge e si sottrare al primo termine $(b/(2a)x)^2$:
$a(x^2+2(b)/(2a)x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a)=0$
$a(x+b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a=0$
ora perchè questo passaggio cos'ha fatto?
ah ho capito il termine:
$x^2+2(b)/(2a)x+(b/(2a))^2=(x+b/(2a))^2$ è il quadrato di un binomio....
tornando alla dimostrazione si ha che:
$1/a*a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c/a=0*1/a$
$(x+b/(2a))^2-(b^2+4ac)/(4a^2)=0$ ora se il numeratore è positivo o nullo si estrae la radice, ma perchè ho bisogno di quest' estrazione di radice????
$x^2+2(b)/(2a)x+(b/(2a))^2=(x+b/(2a))^2$ è il quadrato di un binomio....
tornando alla dimostrazione si ha che:
$1/a*a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c/a=0*1/a$
$(x+b/(2a))^2-(b^2+4ac)/(4a^2)=0$ ora se il numeratore è positivo o nullo si estrae la radice, ma perchè ho bisogno di quest' estrazione di radice????
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