Disequazione con valori assoluti

[bosu1]

Buongiorno, chiedo gentilmente se qualcuno è in grado di aiutarmi nella risoluzione della seguente disequazione:

$ | 2^|log(2,x^2 + 2)| -1| >15 $

Ho cercato di risolverla sfruttando la definizione di logaritmo ma credo di essere in errore: $ 2^log(2,x^2) = x^2 $ perchè qui ho $ x^2 + 2 $. La soluzione dell'esercizio è S =] −∞,−2[ ∪] − 1/8, 0[ ∪]0, 1/8[ ∪]2,+∞[ ma non so proprio come arrivarci.
Qualcuno mi indica la strada giusta?

Grazie e buona giornata

[mazzarri1]

ciao Bosu

c'è qualcosa che non torna nel testo... quel $log(2,x^2+2)$ sarebbe per caso $log_2(x^2+2)$??

in questo caso ricorda sempre che

$|f(x)|= f(x) $ per $f(x)>=0$
$|f(x)|= -f(x) $ per $f(x)<0$

la prima funzione da esaminare, $log_2(x^2+2)$, è sempre positiva!!! quindi il valore assoluto si potrebbe togliere senza problemi... Resterebbe

$2^(log_2(x^2+2))=|x^2+2|$

ma anche qui avresti una funzione sempre positiva e potresti togliere il valore assoluto

$|x^2+2| = x^2+2$

quindi il primo membro resterebbe in definitiva

$|x^2+2-1|=|x^2+1|$ anche qui sempre positivo e allora toglieresti il valore assoluto...

totale

$x^2-14>0$

quindi qualcosa non torna perchè non viene certoil risultato del libro... sicuro di aver scritto bene il testo?

ciao!

[bosu1]

Ciao, il testo è $ |logx^2+2| base2 $ e confermo il testo del risultato dell'esercizio. Pensi che sia errata la soluzione ?

Grazie per la risposta

[mazzarri1]

Aspetta... e diverso da prima... questo cambia tutto .. allora sarebbe

$log_2 x^2 +2$

e cosi? Senza parentesi? Lo scriviamo

$2+log_2 x^2$

Cosi è molto meglio... più chiaro
allora ragionando come ti ho scritto nel precedente post studiamo la prima funzione che si annida tra i valori assoluti e vediamo dove possiamo togliere il segno di modulo

$|2+log_2 x^2|= 2+log_2 x^2$

Se

$2+log_2 x^2>=0$

$log_2 x^2>=-2$

$x^2>=1/4$

Cioe se

$x<=-1/2$ vel $x>=1/2$

Quindi alla prima funzione si puo togliere il valore assoluto a quelle condizioni...

Riassumendo, in base anche a quanto ti ho già scritto nel post precedente,

$|2+log_2 x^2|= 2+log_2 x^2$ SE $x<=-1/2$ vel $x>=1/2$

$|2+log_2 x^2|= -2-log_2 x^2$ SE $-1/2
fin qui tutto chiaro???

Quindi possiamo dividere in due la disequazione originale (i logaritmi sono tutti in base 2 ma non lo scrivo per semplicità di scrittura, ok?)

1) ${(|2^(2+log x^2)-1|>15),(x<=-1/2),(x>=1/2):}$

2) ${(|2^(-2-log x^2)-1|>15),(-1/2
facciamo la PRIMA

${(|2^(log x^2)2^2 -1|>15),(x<=-1/2),(x>=1/2):}$

${(|4x^2-1|>15),(x<=-1/2),(x>=1/2):}$

qui il modulo si può togliere perchè $4x^2-1$ è positivo nell'intervallo che stiamo considerando

${(4x^2-1>15),(x<=-1/2),(x>=1/2):}$

${(4x^2-16>0),(x<=-1/2),(x>=1/2):}$

${(4(x^2-4)>0),(x<=-1/2),(x>=1/2):}$

ora ti fai il disegnino solito e la soluzione è (controlla)

$x<2$ vel $x>2$

facciamo la SECONDA

${(|2^(-2-log x^2)-1|>15),(-1/2
${(|2^(log (1/x^2))2^(-2)-1|>15),(-1/2
${(|1/(4x^2)-1|>15),(-1/2
${(|(1-4x^2)/(4x^2)|>15),(-1/2
anche qui il modulo si può togliere perchè $1-4x^2$ è positivo nell'intervallo che stiamo considerando

${((1-4x^2)/(4x^2)>15),(-1/2
${((1-64x^2)/(4x^2)>0),(-1/2
la "prima" ha soluzioni $-1/8
ora ti fai il disegnino solito e la soluzione è (controlla)

$-1/8
In totale ora metti insieme le cose e hai la soluzione del tuo libro

and we have done...

tutto chiaro??

ciao!!

[bosu1]

Perfetto. Grazie per l'aiuto e la chiarezza dei vari passaggi risolutivi. Ho fugato diversi dubbi ed incertezze.
Buona giornata.

[mazzarri1]

Grazie ne ho bisogno...