Disequazione con seno e coseno

[Diaccio1]

salve a tutti avrei bisogno di un aiuto su questa disequazione, bisogna trovare le soluzioni nell'intervallo [0, 2π]
$ sin x- cos x leq 1 $

l'unico modo che mi è venuto in mente per svolgerla è stato:
$ sin x leq 1 - cosx $
$ sin^2 x leq 1 + cos^2x+2cosx $
$ 1-cos^2 x leq 1 + cos^2x+2cosx $
$ 1-cos^2 x - cos^2x-2cosx -1 leq 0 $
$ -2cos^2 x -2cosx leq 0 $
$ cosx(-2cos x-2) leq 0 $
dopo di che faccio il grafico dei segni con
$ cosxleq 0 $
$ cosx geq 1 $
la mia soluzione è tra [0,π/2] U [3π/2,2π]

mentre il libro dice che è tra [0,π/2] U [π,2π]

potete dirmi dove ho sbagliato e soprattutto se è lecita l'elevazione al quadrato di entrambi i membri?
grazie mille per l'aiuto

[giammaria2]

In una disequazione non è lecita l'elevazione a quadrato dei due membri, a meno di avere la certezza che sono entrambi positivi; dovresti ricordarlo perchè hai studiato le disequazioni irrazionali. Anche se fosse un'equazione, l'elevazione a quadrato va fatta nei soli casi in cui non ci sono altri metodi, perchè spesso introduce soluzioni estranee: questo vale anche fuori dalla trigonometria. La tua disequazione è lineare: come si risolvono le equazioni lineari? Usa lo stesso metodo (o meglio, uno degli stessi meodi).

[sssebi]

Sarà un errore di distrazione ma, anche nel caso si potesse fare, il doppio prodotto non si cambia di segno!

[^Tipper^1]

Prova a fare la lineare.

[igiul1]

Usa le formule parametriche

oppure

costruisci il grafico di $senx$ e quello di $1+cosx$

In entrambi i casi troverai facilmente le soluzioni

P.S. Il metodo grafico è, secondo me, più interessante e visivamente più immediato (oltre che anche più rapido)

[Diaccio1]

grazie mille a tutti, scusate per glli errori nell post e le bestemmie matematiche!