Disequazione con log

[Tommy85]

$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

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Risposte

giammaria2

14 nov 2012, 17:12

Noto intanto che non hai studiato il campo di esistenza.
Per la soluzione, mi pare di capire che a numeratore il tuo ragionamento sia stato che un prodotto è maggiore di 1 se e solo se lo sono entrambi i suoi fattori: falso! Ad esempio $3*1/2>1$ oppure $(-5)*(-2/3)>1$.
Ciò premesso, il tuo esercizio non è facile né banale; credo che per risolverlo occorra qualche furbata che per ora non mi viene in mente.

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Obidream

14 nov 2012, 17:44

"scarsetto":$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

Il denominatore è ok quindi non lo scrivo, mentre al numeratore mi sembra non vada bene...

Puoi risolvere in quel modo soltanto se avessi $log(1+1/x)(x+1)>0$ mentre nel nostro caso c'è anche un $-1$...


Io proverei così, ricordando che l'argomento del logaritmo, $1+1/x>0$, deve essere positivo :

$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

$log(1+1/x)(x+1)>1$

$t=log(1+1/x)$ da cui si ricava $x=1/(e^t-1)$

$t*(1/(e^t-1))>1$

$(t-e^t-1)/(e^t-1)<0$

Da cui si ottiene $t<0$

Quindi $log(1+1/x)<0$ da cui segue $x<0$...

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Tommy85

14 nov 2012, 17:56

"Obidream":[quote="scarsetto"]$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

Il denominatore è ok quindi non lo scrivo, mentre al numeratore mi sembra non vada bene...

Puoi risolvere in quel modo soltanto se avessi $log(1+1/x)(x+1)>0$ mentre nel nostro caso c'è anche un $-1$...


Io proverei così, ricordando che l'argomento del logaritmo, $1+1/x>0$, deve essere positivo :

$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

$log(1+1/x)(x+1)>1$

$t=log(1+1/x)$ da cui si ricava $x=1/(e^t-1)$

$t*(1/(e^t-1))>1$

$(t-e^t-1)/(e^t-1)<0$

Da cui si ottiene $t<0$

Quindi $log(1+1/x)<0$ da cui segue $x<0$...[/quote]

cio che nn ho capito come fai ricavare $x=1/(e^t-1)$ da $t=log(1+1/x)$

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Obidream

14 nov 2012, 18:00

Allora $log(1+1/x)=t$ implica $1+1/x=e^t$ poi $1/x=e^t-1$ da cui ricavi $1=x(e^t-1)$ ricordando che $x!=0$ ( ho moltiplicato ambo i membri per $x$) quindi isolo la $x$ ed ottengo:

$1/(e^t-1)=x$

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Tommy85

14 nov 2012, 18:05

Obidream:Allora $log(1+1/x)=t$ implica $1+1/x=e^t$ poi $1/x=e^t-1$ da cui ricavi $1=x(e^t-1)$ ricordando che $x!=0$ ( ho moltiplicato ambo i membri per $x$) quindi isolo la $x$ ed ottengo:

$1/(e^t-1)=x$

grazie mille

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Obidream

14 nov 2012, 18:12

Figurati, forse conviene aspettare qualche mod, però sembra corretta come soluzione

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Tommy85

14 nov 2012, 18:23

"Obidream":[quote="scarsetto"]$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

Il denominatore è ok quindi non lo scrivo, mentre al numeratore mi sembra non vada bene...

Puoi risolvere in quel modo soltanto se avessi $log(1+1/x)(x+1)>0$ mentre nel nostro caso c'è anche un $-1$...


Io proverei così, ricordando che l'argomento del logaritmo, $1+1/x>0$, deve essere positivo :

$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

$log(1+1/x)(x+1)>1$

$t=log(1+1/x)$ da cui si ricava $x=1/(e^t-1)$

$t*(1/(e^t-1))>1$

$(t-e^t-1)/(e^t-1)<0$

Da cui si ottiene $t<0$

Quindi $log(1+1/x)<0$ da cui segue $x<0$...[/quote]

scusa se ti disturbo ancora ma da dove ti esce questo $t*(1/(e^t-1))>1$? nn dovevi fare cosi $t*((1/(e^t-1))+1)>1$

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Obidream

14 nov 2012, 18:58

"Obidream":
$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

Se porti il $-1$ al secondo membro e poi fai la sostituzione con $t$ dovresti ritrovarti

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giammaria2

14 nov 2012, 20:03

Ottima l'idea di Obidream. Ho però preferito non dare denominatore comune e quindi i miei risultati sono un po' diversi; vi conviene controllare perché non è raro che io faccia errori di calcolo.
Dalla sostituzione $log(1+1/x)=t$ ricavo $x=1/(e^t-1)$ e lo sostituisco nella disequazione
$log(1+1/x)>1/(x+1)$
ottenendo, dopo qualche calcolo,
$t>(e^t-1)/(e^t)->t>1-e^(-t)->e^-t> -t+1$
Disegnando le curve $y=e^(-t)$ e $y=-t+1$ noto che si incontrano nel punto (0,1) in cui sono tangenti ed a parte questo l'esponenziale è sempre sopra alla retta: la soluzione è quindi $t!=0$, vera per ogni $x$.
La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

Richiamo all'osservanza del seguente articolo del regolamento:
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.

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Tommy85

15 nov 2012, 07:36

"Obidream":[quote="Obidream"]
$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

Se porti il $-1$ al secondo membro e poi fai la sostituzione con $t$ dovresti ritrovarti [/quote]

nn mi ritrovo infatti: sostituiamo $log(1+1/x)=t$ quindi $x=1/(e^t-1)$ andando a sostituire in $log(1+1/x)(x+1)-1>0$
otteniamo $t((1/(e^t-1))+1)-1>0$ quindi $((t/(e^t-1))+t)-1>0$ quindi $(t+t(e^t-1)-e^t+1)/(e^t-1)>0$
da qui ottengo $(te^t-e^t+1)/(e^t-1)>0$ e quindi $t>(e^t-1)^2/e^t$

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giammaria2

15 nov 2012, 08:11

"scarsetto":... ottengo $(te^t-e^t+1)/(e^t-1)>0$ e quindi $t>(e^t-1)^2/e^t$

Che ragionamento hai fatto? Devi studiare il segno di numeratore e denominatore e i calcoli per il numeratore sono:
$te^t-e^t+1>0->te^t>e^t-1->t>(e^t-1)/(e^t)$
Comunque ti consiglio di guardare la mia soluzione precedente: è più facile di questa.

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Tommy85

15 nov 2012, 08:23

"giammaria":
$t>(e^t-1)/(e^t)->t>1-e^(-t)->e^-t> -t+1$
Disegnando le curve $y=e^(-t)$ e $y=-t+1$ noto che si incontrano nel punto (0,1) in cui sono tangenti ed a parte questo l'esponenziale è sempre sopra alla retta: la soluzione è quindi $t!=0$, vera per ogni $x$.
La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

nn riesco a capire il passaggio che ti ho citato e cmq come fa ad uscire $t>1-e^(-t)$

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giammaria2

15 nov 2012, 09:29

$(e^t-1)/(e^t)=e^t/e^t-1/e^t=1-e^-t$
Hai altri dubbi?

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Tommy85

15 nov 2012, 09:38

"scarsetto":[quote="giammaria"]

Disegnando le curve $y=e^(-t)$ e $y=-t+1$ noto che si incontrano nel punto (0,1) in cui sono tangenti ed a parte questo l'esponenziale è sempre sopra alla retta: la soluzione è quindi $t!=0$, vera per ogni $x$.
La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

[/quote]
ora ho capito....ma poi come fai a dire La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

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giammaria2

15 nov 2012, 11:37

Se la disequazione è verificata per ogni $t$ (con l'eccezione detta) lo è anche per ogni $x$, purché abbia senso, cioè purché si sia in campo di esistenza. Quest'ultimo si trova imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo:

$1+1/x>0=>(x+1)/x>0$
E' una disequazione frazionaria e quindi abbiamo il seguente pseudosistema:

${(N>0=>x+1>0=>x> -1),(D>0=>x>0) :}$
Facendo ora il grafico dei segni, vedi che si ha il segno più per $x< -1 vvx>0$

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[giammaria2]

Noto intanto che non hai studiato il campo di esistenza.
Per la soluzione, mi pare di capire che a numeratore il tuo ragionamento sia stato che un prodotto è maggiore di 1 se e solo se lo sono entrambi i suoi fattori: falso! Ad esempio $3*1/2>1$ oppure $(-5)*(-2/3)>1$.
Ciò premesso, il tuo esercizio non è facile né banale; credo che per risolverlo occorra qualche furbata che per ora non mi viene in mente.

[Obidream]

"scarsetto":$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

Il denominatore è ok quindi non lo scrivo, mentre al numeratore mi sembra non vada bene...

Puoi risolvere in quel modo soltanto se avessi $log(1+1/x)(x+1)>0$ mentre nel nostro caso c'è anche un $-1$...


Io proverei così, ricordando che l'argomento del logaritmo, $1+1/x>0$, deve essere positivo :

$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

$log(1+1/x)(x+1)>1$

$t=log(1+1/x)$ da cui si ricava $x=1/(e^t-1)$

$t*(1/(e^t-1))>1$

$(t-e^t-1)/(e^t-1)<0$

Da cui si ottiene $t<0$

Quindi $log(1+1/x)<0$ da cui segue $x<0$...

[Tommy85]

"Obidream":[quote="scarsetto"]$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

Il denominatore è ok quindi non lo scrivo, mentre al numeratore mi sembra non vada bene...

Puoi risolvere in quel modo soltanto se avessi $log(1+1/x)(x+1)>0$ mentre nel nostro caso c'è anche un $-1$...


Io proverei così, ricordando che l'argomento del logaritmo, $1+1/x>0$, deve essere positivo :

$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

$log(1+1/x)(x+1)>1$

$t=log(1+1/x)$ da cui si ricava $x=1/(e^t-1)$

$t*(1/(e^t-1))>1$

$(t-e^t-1)/(e^t-1)<0$

Da cui si ottiene $t<0$

Quindi $log(1+1/x)<0$ da cui segue $x<0$...[/quote]

cio che nn ho capito come fai ricavare $x=1/(e^t-1)$ da $t=log(1+1/x)$

[Obidream]

Allora $log(1+1/x)=t$ implica $1+1/x=e^t$ poi $1/x=e^t-1$ da cui ricavi $1=x(e^t-1)$ ricordando che $x!=0$ ( ho moltiplicato ambo i membri per $x$) quindi isolo la $x$ ed ottengo:

$1/(e^t-1)=x$

[Tommy85]

Obidream:Allora $log(1+1/x)=t$ implica $1+1/x=e^t$ poi $1/x=e^t-1$ da cui ricavi $1=x(e^t-1)$ ricordando che $x!=0$ ( ho moltiplicato ambo i membri per $x$) quindi isolo la $x$ ed ottengo:

$1/(e^t-1)=x$

grazie mille

[Obidream]

Figurati, forse conviene aspettare qualche mod, però sembra corretta come soluzione

[Tommy85]

"Obidream":[quote="scarsetto"]$e^(xlog(1+(1/x)))(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$

$e^(xlog(1+(1/x)))$ è sempre $>0$ per x appartenente ad R
$(log(1+(1/x))-1/(x+1))>0$ faccio il mcm $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)/(x+1))>0$
stdio il denominatore $x+1>0$ quindi $x> -1$
studio il numeratore $(((log(1+(1/x))(x+1))-1)>0$ e ho $x+1>1$ quindi $x>0$
poi $log(1+(1/x))>1$ quindi $1+(1/x)>e$ quindi $x<1/(e-1)$ unisco le 2 soluzioni del numeratore e ottengo $1/(e-1)>x>0$
poi questa soluzione la unisco alla sol del denominatore ottengo $x<-1 U 0

Il denominatore è ok quindi non lo scrivo, mentre al numeratore mi sembra non vada bene...

Puoi risolvere in quel modo soltanto se avessi $log(1+1/x)(x+1)>0$ mentre nel nostro caso c'è anche un $-1$...


Io proverei così, ricordando che l'argomento del logaritmo, $1+1/x>0$, deve essere positivo :

$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

$log(1+1/x)(x+1)>1$

$t=log(1+1/x)$ da cui si ricava $x=1/(e^t-1)$

$t*(1/(e^t-1))>1$

$(t-e^t-1)/(e^t-1)<0$

Da cui si ottiene $t<0$

Quindi $log(1+1/x)<0$ da cui segue $x<0$...[/quote]

scusa se ti disturbo ancora ma da dove ti esce questo $t*(1/(e^t-1))>1$? nn dovevi fare cosi $t*((1/(e^t-1))+1)>1$

[Obidream]

"Obidream":
$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

Se porti il $-1$ al secondo membro e poi fai la sostituzione con $t$ dovresti ritrovarti

[giammaria2]

Ottima l'idea di Obidream. Ho però preferito non dare denominatore comune e quindi i miei risultati sono un po' diversi; vi conviene controllare perché non è raro che io faccia errori di calcolo.
Dalla sostituzione $log(1+1/x)=t$ ricavo $x=1/(e^t-1)$ e lo sostituisco nella disequazione
$log(1+1/x)>1/(x+1)$
ottenendo, dopo qualche calcolo,
$t>(e^t-1)/(e^t)->t>1-e^(-t)->e^-t> -t+1$
Disegnando le curve $y=e^(-t)$ e $y=-t+1$ noto che si incontrano nel punto (0,1) in cui sono tangenti ed a parte questo l'esponenziale è sempre sopra alla retta: la soluzione è quindi $t!=0$, vera per ogni $x$.
La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

Richiamo all'osservanza del seguente articolo del regolamento:
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.

[Tommy85]

"Obidream":[quote="Obidream"]
$log(1+1/x)(x+1)-1>0$

Se porti il $-1$ al secondo membro e poi fai la sostituzione con $t$ dovresti ritrovarti [/quote]

nn mi ritrovo infatti: sostituiamo $log(1+1/x)=t$ quindi $x=1/(e^t-1)$ andando a sostituire in $log(1+1/x)(x+1)-1>0$
otteniamo $t((1/(e^t-1))+1)-1>0$ quindi $((t/(e^t-1))+t)-1>0$ quindi $(t+t(e^t-1)-e^t+1)/(e^t-1)>0$
da qui ottengo $(te^t-e^t+1)/(e^t-1)>0$ e quindi $t>(e^t-1)^2/e^t$

[giammaria2]

"scarsetto":... ottengo $(te^t-e^t+1)/(e^t-1)>0$ e quindi $t>(e^t-1)^2/e^t$

Che ragionamento hai fatto? Devi studiare il segno di numeratore e denominatore e i calcoli per il numeratore sono:
$te^t-e^t+1>0->te^t>e^t-1->t>(e^t-1)/(e^t)$
Comunque ti consiglio di guardare la mia soluzione precedente: è più facile di questa.

[Tommy85]

"giammaria":
$t>(e^t-1)/(e^t)->t>1-e^(-t)->e^-t> -t+1$
Disegnando le curve $y=e^(-t)$ e $y=-t+1$ noto che si incontrano nel punto (0,1) in cui sono tangenti ed a parte questo l'esponenziale è sempre sopra alla retta: la soluzione è quindi $t!=0$, vera per ogni $x$.
La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

nn riesco a capire il passaggio che ti ho citato e cmq come fa ad uscire $t>1-e^(-t)$

[giammaria2]

$(e^t-1)/(e^t)=e^t/e^t-1/e^t=1-e^-t$
Hai altri dubbi?

[Tommy85]

"scarsetto":[quote="giammaria"]

Disegnando le curve $y=e^(-t)$ e $y=-t+1$ noto che si incontrano nel punto (0,1) in cui sono tangenti ed a parte questo l'esponenziale è sempre sopra alla retta: la soluzione è quindi $t!=0$, vera per ogni $x$.
La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

[/quote]
ora ho capito....ma poi come fai a dire La disequazione data è quindi verificata nell'intero CE, cioè per $x< -1 vv x>0$

[giammaria2]

Se la disequazione è verificata per ogni $t$ (con l'eccezione detta) lo è anche per ogni $x$, purché abbia senso, cioè purché si sia in campo di esistenza. Quest'ultimo si trova imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo:

$1+1/x>0=>(x+1)/x>0$
E' una disequazione frazionaria e quindi abbiamo il seguente pseudosistema:

${(N>0=>x+1>0=>x> -1),(D>0=>x>0) :}$
Facendo ora il grafico dei segni, vedi che si ha il segno più per $x< -1 vvx>0$