Disequazione con denominatore di secondo grado

[Arego]

Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto per una disequazione. Mi trovo alle prese con un esercizio sugli estremi superiore e inferiore e mi son bloccato. Premetto che sto facendo esercizi anche per rafforzare i fondamentali, e sicuramente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.
Devo risolvere la seguente disequazione, o meglio, dimostrare che è vera calcolandola esplicitamente:

$-1<=(2n)/(n^2+1)<=1$

Per quanto sia banale, mi incarto coi calcoli e non riesco ad arrivare ad una conclusione sensata. Qual è il metodo più corretto di procedere?

[axpgn]

$(2n)/(n^2+1)<=1$

$2n<=n^2+1$

$0<=n^2-2n+1=(n-1)^2$

Questa è sempre vera se $n in NN$

[@melia]

Osserva che
1. la prima parte della disequazione è sempre verificata, infatti $ -1<=(2n)/(n^2+1)$ perché il primo membro è negativo e il secondo sempre positivo (suppongo che $n in NN$)
2. axpgn ha allegramente moltiplicato tutto per il denominatore, cosa che stavolta si può fare perché ...

[axpgn]

L'ho fatto perché si può fare (penso che abbiamo supposto tutti la stessa cosa )

[@melia]

L'avevo capito, ma non sono sicura che l'autore del post avesse capito correttamente.

[axpgn]

Dagli fiducia