Disequazione con arcsin e log
Come si procede per risolvere una disequazione di questo tipo?
$arcsin(3x)-3log(1+x)>0$
E' possibile avere dei riferimenti a dispense che illustrano la risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche che implicano anche il confronto con altre funzioni?
Grazie in anticipo.
$arcsin(3x)-3log(1+x)>0$
E' possibile avere dei riferimenti a dispense che illustrano la risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche che implicano anche il confronto con altre funzioni?
Grazie in anticipo.
Risposte
Data la funzione:
\[ f(x) = \arcsin (3x) - 3 \ln (1+x) \]
se ne vogliono studiare gli intervalli di positività. Il suo dominio è dato da:
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 & \implies & x > -1\\ |3x| \leq 1 & \implies &- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3} \end{cases} \implies \mathcal{D} =\left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3} \right \} \]
La sua derivata prima è:
\[ f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2 }} - 3 \frac{1}{1 + x} \]
e si annulla quando:
\[ 1 + x = \sqrt{1- 9 x^2 } \implies x^2 + 2x + 1 = 1 - 9 x^2 \implies x = 0 \ \vee \ x = - \frac{1}{5} \]
Per determinare la natura di questi punti, studiamo la derivata seconda:
\[ f''(x) = 3 \frac{ 9x }{\left (1 -9x^2 \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{(1+x)^2} \]
Essendo \( f''(0) = 1 > 0 \) in \(x=0\) c'è un punto di minimo. Invece, \( f''\left(-\frac{1}{5} \right ) = -\frac{375}{64} < 0 \), quindi in \(x = -\frac{1}{5} \) c'è un punto di massimo. In particolare:
\[ f(0) = 0, \ f\left (- \frac{1}{5} \right ) = 0.0259... > 0 \]
quindi la funzione è non negativa per \( -\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{1}{3} \). Resta da capire cosa succede per \(-\frac{1}{3} \leq x < -\frac{1}{5} \). Dal momento che:
\[ \lim_{x \to -\frac{1}{3} } { f(x)} = - \frac{\pi}{2} + \ln \left (\frac{27}{8} \right ) < 0 \]
per il teorema degli zeri deve esistere, poiché la funzione è continua ed assume valori di segno diverso nell'intervallo, almeno un'intersezione con l'asse \(x\). Purtroppo, non mi sembra si possa calcolare analiticamente quale sia questo punto. Si può usare il metodo di Newton per ottenerne un'approssimazione ragionevole dopo un numero non eccessivo di iterazioni. Comunque, è circa \( 0.26998 \). Prima di questo valore la funzione è negativa, per il fatto che non ci sono punti estremanti in questo intervallo. In conclusione:
\[ \arcsin(3x) - 3\ln(1+x) > 0 \iff x > 0.26998... \ \wedge \ x \neq 0 \]
\[ f(x) = \arcsin (3x) - 3 \ln (1+x) \]
se ne vogliono studiare gli intervalli di positività. Il suo dominio è dato da:
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 & \implies & x > -1\\ |3x| \leq 1 & \implies &- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3} \end{cases} \implies \mathcal{D} =\left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3} \right \} \]
La sua derivata prima è:
\[ f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2 }} - 3 \frac{1}{1 + x} \]
e si annulla quando:
\[ 1 + x = \sqrt{1- 9 x^2 } \implies x^2 + 2x + 1 = 1 - 9 x^2 \implies x = 0 \ \vee \ x = - \frac{1}{5} \]
Per determinare la natura di questi punti, studiamo la derivata seconda:
\[ f''(x) = 3 \frac{ 9x }{\left (1 -9x^2 \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{(1+x)^2} \]
Essendo \( f''(0) = 1 > 0 \) in \(x=0\) c'è un punto di minimo. Invece, \( f''\left(-\frac{1}{5} \right ) = -\frac{375}{64} < 0 \), quindi in \(x = -\frac{1}{5} \) c'è un punto di massimo. In particolare:
\[ f(0) = 0, \ f\left (- \frac{1}{5} \right ) = 0.0259... > 0 \]
quindi la funzione è non negativa per \( -\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{1}{3} \). Resta da capire cosa succede per \(-\frac{1}{3} \leq x < -\frac{1}{5} \). Dal momento che:
\[ \lim_{x \to -\frac{1}{3} } { f(x)} = - \frac{\pi}{2} + \ln \left (\frac{27}{8} \right ) < 0 \]
per il teorema degli zeri deve esistere, poiché la funzione è continua ed assume valori di segno diverso nell'intervallo, almeno un'intersezione con l'asse \(x\). Purtroppo, non mi sembra si possa calcolare analiticamente quale sia questo punto. Si può usare il metodo di Newton per ottenerne un'approssimazione ragionevole dopo un numero non eccessivo di iterazioni. Comunque, è circa \( 0.26998 \). Prima di questo valore la funzione è negativa, per il fatto che non ci sono punti estremanti in questo intervallo. In conclusione:
\[ \arcsin(3x) - 3\ln(1+x) > 0 \iff x > 0.26998... \ \wedge \ x \neq 0 \]
Nello studio di funzione propostomi ho svolto l'esercizio tale e quale.
Mi pare di capire, e per favore correggimi se sbaglio, che se lo studio degli intervalli di positività, negatività, e quindi anche degli zeri, è troppo insidioso, si possono dedurre queste informazioni dallo studio della monotonia ricorrendo alle derivate, giusto?
Mi pare di capire, e per favore correggimi se sbaglio, che se lo studio degli intervalli di positività, negatività, e quindi anche degli zeri, è troppo insidioso, si possono dedurre queste informazioni dallo studio della monotonia ricorrendo alle derivate, giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo