Disequazione che non mi viene potete aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

Ciao ragazzi questa disequazione non mi esce, potete dirmi dove sbaglio?

Il risultato corretto è: -3/4 ≤ x <-2/3

sqrt(4x+3) [sqrt(x+1) + sqrt(4x+3)] / (3x+2) <= 0

1° Fattore:
4x+3>=0
x >= -3/4

2° Fattore:
sqrt(x+1) + sqrt(4x+3)>=0

{ x+1 >= 0
{ 4x+3 >= 0

{ x >= -1
{ x >= -3/4
-1....-3/4.....
________________
.........._________

x >= -3/4

3° Fattore:
3x+2>0
x > -2/3

Grafico:
.............-3/4...............-2/3
1° Fatt...-----X+++++++++++++++
2° Fatt...-----X+++++++++++++++
3° Fatt...---------------------+++++
Segno:...-----X--------------+++++

Quindi ottengo l'errata soluzione:

x < -2/3

Qual' è il mio errore? Grazie.

[chiaraotta1]

Il numeratore del primo membro della disequazione
$(sqrt(4x+3) [sqrt(x+1) + sqrt(4x+3)]) / (3x+2) <= 0$
è $>=0$ dove è definito, perché è il prodotto di una grandezza certamente $>=0$ ($sqrt(4x+3)$), perché è una radice quadrata, con un'altra che è anch'essa certamente $>0$ ($[sqrt(x+1) + sqrt(4x+3)]$), perché è somma di due radici quadrate, sicuramente $>=0$, ma che non si annullano contemporaneamente.
Quindi il rapporto è $<=0$ per i valori del $CE$ che rendono negativo il denominatore.
Perciò la disequazione è equivalente al sistema
${(4x+3>=0), (x+1>=0), (3x+2<0):}-> {(x>=-3/4), (x>=-1), (x<-2/3):}->-3/4<=x<-2/3$.

[Sk_Anonymous]

Ringrazio per la tua soluzione molto elegante e chiara.
Non sapresti spiegarmi dove sta il mio errore? Io credo che stia nel fatto di aver ripetuto il 2° fattore che è coincidente con il 1°, ma non sono sicuro e quindi non so.

[chiaraotta1]

E' vero che i tuoi primo e secondo fattore sono $>=0$ per $x>=-3/4$, ma non è vero che siano $<0$ per $x<-3/4$. Per quei valori della $x$ non sono definiti.
Quindi il rapporto è $>0$per $x> -2/3$, è $<=0$ per $-3/4<=x<-2/3$, ma non esiste per $x<-3/4$.

[Sk_Anonymous]

Ah ah perfetto grazie mille sei chiarissima

[giammaria2]

@ ignorante. Dopo il trentesimo messaggio è obbligatorio scrivere bene le formule, e tu l'hai decisamente superato. Questa tua domanda ha già avuto risposta, ma ti avverto che bloccherò altre questioni in cui tu commetta la stessa violazione al regolamento.

[Sk_Anonymous]

E' la prima volta che non scrivo bene le formule perché era lungo l'esercizio ma non succederà più.