Disequazione apparentemente semplice

[silvia851-votailprof]

ho la seguente disequazione $(1/3)^(1+logx^2)<=3^-1$ vi mostro come l'ho svolta.......
$(1/3)^(1+logx^2)<=(1/3)^1$
siccome hanno la stessa base allora...
$1+x^2<=1$
intanto mi calcolo
$1+x^2>=0$ $rArr$ $x_(1,2)=1,-1$ quindi _____________-1_ _ _ _ _ _1_____________
siccome la mia base è $0 $1+x^2>=1$ $rArr$ $x^2>=0$ quindi __________________0____________________
i miei segni sono + - - +
per la soluzione della disequazione devo prendere quelli con segno + quindi... $]-oo,-1] U [1,+oo[$
il mio ragionamento è esatto? vorrei una conferma solo per aumentare la mia sicurezza personale...

[chiaraotta1]

Se leggo bene il testo e l'esponente di $1/3$ a primo membro è $1-log(x^2)$, io proporrei di risolvere così:
per il $CE$ si deve porre
$x^2>0->x!=0$,
poi
$(1/3)^(1-log(x^2))<=(1/3)^1->1-log(x^2)>=1->log(x^2)<=0->x^2<=1->-1<=x<=1$.
Intersecando con il $CE$ si ha $-1<=x<0$ $uu$ $0

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[silvia851-votailprof]

io uso un metodo diverso...ma comunque da quello che vedo che hai scritto portano alla stessa soluzione

[giammaria2]

"silvia_85":... $(1/3)^(1-logx^2)<=(1/3)^1$
siccome hanno la stessa base allora...
$1+x^2<=1$
intanto mi calcolo
$1+x^2>=0$ ...

In un post successivo dici che usi un metodo diverso da quello indicato da chiaraotta ma non riesco proprio ad immaginare un metodo in cui fin dal primo passaggio compare $1+x^2$. Puoi illuminarmi? Ti faccio presente che, a volte e per puro caso, si ottiene il risultato giusto anche con svolgimenti sbagliati.

[silvia851-votailprof]

"chiaraotta":$->log(x^2)<=0->x^2<=1->-1<=x<=1$.

ma io vorrei capire....prima l'$1$ sparisce e poi ricompare?

[G.D.5]

Non è che l'\(1\) prima sparisce e poi ricompare.

Hai la disequazione \(x^{2}-1 \leqslant 0\): si passa all'equazione associata \(x^{2}-1 = 0\), se ne calcolano il discriminante (che vale \(\Delta = 4\)) e le radici (che sono \(\pm 1\)), quindi si valutano il segno del coefficiente direttore ed il verso della disequazione, questi sono discordi, quindi le soluzioni della disequazione sono i valori interni (estremi inclusi) dell'intervallo \(\left[-1;1\right]\), quindi \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) ovvero l'intervallo stesso \(\left[-1;1\right]\).

[silvia851-votailprof]

adesso ti spiego meglio cosa ho fatto io....appena mi sono accorta che la base era uguale mi sono scritta questa disequazione: $1+x^2<=1$
poi mi sono calcolata
$1+x^2>=0$ $rArr$ $Delta=4$ $rArr$ $x_(1,2)=1,-1$ $rArr$ ___________-1_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _1______________
poi ho cambiato il verso della disequazione essendo $0 $1+x^2>=1$ $rArr$ $1+x^2-1>=0$ $rArr$ $x^2>=0$ $rArr$ _____________________0____________________________
da questo grafico sono arrivata alla conclusione che la soluzione è $]-oo,-1]U [1,+oo[$

mi sembra che il mio discorso non faccia una piega....

[giammaria2]

Continuo a non capire cosa c'entra $1+x^2$ ma vedo che WiZaRd non ha avuto problemi e quindi forse è giusto e si tratta di qualcosa che ignoro. Chiedo a lui se è possibile darmene una breve spiegazione, dicendo anche perché \(\Delta = 4\), perché le radici sono \(\pm 1\) e cos'è il coefficiente direttore.
Se si tratta di una lunga trattazione, lasciamo perdere. Però in quel caso concludo che è un argomento universitario: è meglio spostarlo?

[silvia851-votailprof]

adesso ti spiego......essendo che hanno la stesa base prendi in considerazione $1+log(x^2)<=1$ fin qui ci sei?

[G.D.5]

Allora, allora, allora.

Innanzitutto ho commesso un errore di battitura: non era \(x^{2}+1 \leqslant 1\) ma \(x^{2} - 1 \leqslant 0\). A questa disequazione ci si arriva come ha già esaurientemente mostrato chiarotta (partendo da quanto scritto da chiarotta basta portare \(1\) da destra a sinistra). Ho corretto nel mio messaggio precedente. Chiedo scusa per l'errore.

Per il resto: ho mostrato a silvia_85 in che modo, di solito, va risolta una disequazione di secondo grado giacché l'utente, all'atto di quotare il pezzo di post di chiarotta in cui chiarotta stessa/o mostra come si arriva alla disequazione di cui in oggetto, chiedeva lumi circa l'effetto compare scompare dell'\(1\). Il discriminante dell'equazione associata alla disequazione \(x^{2}-1 \leqslant 0\) è ovviamente quello riportato, le radici pure ed il coefficiente direttore è semplicemente il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio che compare alla sinistra dell'uguale nell'equazione associata.

Mi rendo però ora conto che non era questo il passaggio oscuro per silvia_85 quanto quest'altro: partendo da \(1-\ln(x^{2}) \geqslant 1\) si semplificano i due \(1\) e si cambia segno al logaritmo ottenendo \(\ln(x^{2}) \leqslant 0\), al che, usando il fatto che \(\ln(1)=0\), si ottiene che \(\ln(x^{2}) \leqslant \ln(1)\) da cui, finalmente, \(x^{2} \leqslant 1\).

Questo, per inciso, risponde all'ultimo quesito di silvia_85: non puoi passare da \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1-\ln(x^{2})}\leqslant\left(\frac{1}{3}\right)^{1}\) a \(1 + \ln(x^{2}) \leqslant 1\) perché non c'è \(+\) a sinistra ma \(-\) e perché la base delle potenze è minore di \(1\) (sicché va cambiato il verso della disequazione), poi non poi passare da \(1-\ln(x^{2}) \geqslant 1\) a \(1 - x^{2} \geqslant 1\) perché non poi togliere il logaritmo così all'improvviso. I passaggi corretti sono quelli di cui sopra.

Un ultimo appunto: il discriminante dell'equazione \(1+x^{2}=0\) non è \(\Delta=4\) ma \(\Delta=-4\) sicché questa equazione è impossibile, non ci sono né \(x_{1}\) né \(x_{2}\) e la disequazione cui questa equazione è associata (i.e. \(1+x^{2}\geqslant 0\)) è sempre verificata.

[giammaria2]

Grazie mille; unendo il tuo errore di battitura alla frase di Silvia_85 "appena mi sono accorta che la base era uguale mi sono scritta questa disequazione: $1+x^2≤1$" avevo pensato a chissà quale metodo strano di soluzione; il tuo chiarimento mi rasserena.

[silvia851-votailprof]

ho provveduto a correggere la mia disequazione (errore di battitura)....la mia disequazione è $(1/3)^(1+log(x^2))<=3^-1$
ma non capisco perchè non posso scrivere $1+x^2<=1$

[giammaria2]

Cominciamo a pensare alla sola equazione, lasciando da parte il maggiore o minore; trascuro ancheil CE, per il quale ti invito a rileggere i post precedenti.
Se l'equazione fosse $(1/3)^(1+x^2)=(1/3)^1$ avresti tutte le ragioni di scrivere $1+x^2=1$. Non è così e devi eguagliare gli esponenti e quindi scrivere $1+log(x^2)=1$; non puoi tralasciare il simbolo di logaritmo. A questo punto semplifichi fra loro i due 1 ed ottieni $log(x^2)=0$. Abbiamo però bisogno di avere due logaritmi e perciò lo riscriviamo nella forma $log(x^2)=log 1$ da cui deduciamo $x^2=1$, eccetera. Questo è il metodo che ti ha indicato Chiaraotta; io ho solo aggiunto i commenti e trasformato il tutto in equazione.
Il fatto che fosse una disequazione aggiunge un'ulteriore complicazione: quando la base è minore di 1(come in questo caso) nel passare dal confronto fra potenze con la stessa base a quello fra i loro esponenti, il segno di diseguaglianza si inverte, cioè il maggiore diventa minore e viceversa.

[silvia851-votailprof]

si la questione del verso lo sapevo infatti nei miei post precedenti l'ho anche scritto.....adesso ho capito grazie del chiarimento

[G.D.5]

"giammaria":Grazie mille...

Ma ti pare! Anzi: mi scuso ancora per l'erroraccio che ho commesso.
Buona domenica.