Disequazione & induzione

[Steven11]

Salve a tutti.
Mi trovo a che fare con questa semplice dimostrazione, che però non riesco a impostare.
Provare per induzione la seguente disuguaglianza
$2^n>n^2$
$ninNN$
Con $n>4$

Grazie & ciao.

[TomSawyer1]

Dopo averla verificata per $n=5$, la si assume vera per qualche $n>5$. Un modo può essere sommare $2^n$ ad entrambi i membri, ottenendo $2^{n+1}>n^2+2^n$. Ora osservi che $2^n+n^2>(n+1)^2=n^2+2n+1 \iff 2^n>2n+1$, per $n>2$. Cioè la parte di destra è sicuramente maggiore di $(n+1)^2$, e questo implica che $2^{n+1}>(n+1)^2$.

[Steven11]

Grazie Tom, non ci avrei proprio pensato ad aggiungere $2^n$ a entrambi i membri.
Alla prossima, ciao&grazie.
Stefano

[TomSawyer1]

Le possibilità erano 2:
-aggiungere $2^n$ ad entrambi i membri per ottenere $2^{n+1}$
-moltiplicare la disequazione per $2$ per ottenere a sinistra ancora $2^{n+1}$

E qui si vede a occhio che la prima scelta si rivela veloce ed efficace.

Ciao

[Steven11]

A questo punto posto la mia arzigogolata dimostrazione, che sapevo essere troppo lunga perchè non ne esistesse un'altra più valida.

Vediamo che $2^n>n^2$ se $n=5$ (1)
Verifichiamo n+1
$2^(n+1)>(n+1)^2$
$2*2^n>n^2+1+2n$
$2^n>(n^2+2n+1)/2$ (2)
Ora ho mostrato che il secondo membro della (1) è maggiore del secondo membro della (2) per $n>1+sqrt2$, pertanto i numeri naturlai che vengono dopo tale valore inglobano tutti quelli maggiori di 4, cosa che a noi interessa.
Quindi possiamo dire che
$(n^2+1+2n)/2 Anche se non molto bella, è valida?
Ciao&grazie ancora.

[TomSawyer1]

Mi sembra un po' strana.. Le argomentazioni, intendo. La questione è piuttosto semplice (partendo dal tuo inizio): $2^n>n^2$, per ipotesi. Ora la maniera più semplice per affrontarla è modificare entrambi i membri della disuguaglianza, nello stesso modo. Moltiplichiamo tutto per $2$ e abbiamo $2^{n+1}>2n^2$, chiaramente ancora vera, per ipotesi. Adesso ti basta far vedere che $2n^2>(n+1)^2=n^2+2n+1 \iff n^2>2n+1$, per $n\ge3$; quindi a maggior ragione si avrà che $2^{n+1}>(n+1)^2$. Spero tu abbia capito. La strada è questa, e anche semplice, quindi conviene non andare in qualche vicolo cieco .

[Steven11]

Hai ragione, cercherò di non chiudermi più usando strade difficoltose.
Grazie per la disponibilità, ciao.
Stefano

[TomSawyer1]

Figurati, per così poco...