Disequazione
Ciao a tutti!! 
Mi chiedevo se potevate aiutarmi con la seguente disequazione dove $M$ è positivo e arbitrariamente grande dovrebbe risultare un intorno sinistro di 1 ma non mi viene....
$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^2-1}}>M$
che poi è come dire che il primo membro tende a infinito per $x$ che tende a 1 da sinistra (plottando la funzione su qualche programma si vede che è vero, mentre per $x$ che tende da destre viene 0) solo che non mi viene un risultato giusto!
Grazie mille per l'aiuto!!
Ciau!!
Mi chiedevo se potevate aiutarmi con la seguente disequazione dove $M$ è positivo e arbitrariamente grande dovrebbe risultare un intorno sinistro di 1 ma non mi viene....
$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^2-1}}>M$
che poi è come dire che il primo membro tende a infinito per $x$ che tende a 1 da sinistra (plottando la funzione su qualche programma si vede che è vero, mentre per $x$ che tende da destre viene 0) solo che non mi viene un risultato giusto!
Grazie mille per l'aiuto!!
Ciau!!
Risposte
Aiutino:
prova applicando i logaritmi ad entrambi i membri.
Poi sfrutti la proprieta' dei logaritmi: $log_a(b^n) = n * log_a(b)$
EugenioA
prova applicando i logaritmi ad entrambi i membri.
Poi sfrutti la proprieta' dei logaritmi: $log_a(b^n) = n * log_a(b)$
EugenioA
Be' ci ho pravato ma non esce il risultato!! Verebbe così:
$ \frac{1}{x^2-1}
penso sia lecito procedere così:
$ x^2-1>\frac{1}{log_{\frac{1}{2}}M}=log_M \frac{1}{2}$
e da qui concludere ma non viene un intorno sinistro di 1 mi sembra...
Dove sbaglio?
$ \frac{1}{x^2-1}
penso sia lecito procedere così:
$ x^2-1>\frac{1}{log_{\frac{1}{2}}M}=log_M \frac{1}{2}$
e da qui concludere ma non viene un intorno sinistro di 1 mi sembra...
Dove sbaglio?
Devi considerare che, siccome $M$ è arbitrariamente grande (diciamo $M > 1$), allora $\log_{1/2} M < 0$.
Sì ma non cambia le cose perché (scusate se ripeto)il risultato non è un intorno sinistro.
Sonoin crisi...
Sonoin crisi...
Se provi a sostituire $1^-$ (intorno sinistro) oppure $1^+$ (intorno desto) ti vengono due risultati diversi:
1) (Sostituisco $1^-$) : $(1/2)^(-oo) > M$ cioe' $+infty > M$
2) (Sostituisco $1^+$) : $(1/2)^(+oo) > M$ cioe' $0 > M$ (impossibile perche' M > 0)
Giusto ?
EugenioA
1) (Sostituisco $1^-$) : $(1/2)^(-oo) > M$ cioe' $+infty > M$
2) (Sostituisco $1^+$) : $(1/2)^(+oo) > M$ cioe' $0 > M$ (impossibile perche' M > 0)
Giusto ?
EugenioA
Sì quello che hai scritto è sicuramente vero ma a me interessava farlo con la disequazione!
Comunque grazie!
Comunque grazie!
Per semplicita' poniamo $log_(1/2)M=-1/k $ con k>0 sufficientemente piccolo.
Si ha :
$1/(x^2-1)+1/k<0$ da cui si trae la disequazione:
$(x^2-(1-k))/(k(x^2-1))<0$
Come di norma,poniamo numeratore e denominatore entrambi >0:
N) $x^2-(1-k)>0->x<-sqrt(1-k),x>sqrt(1-k)$
D) $x^2-1>0->x<-1,x>1$
Rappresentiamo graficamente:
++++++++++++ -1 ------------------------------- +1 +++++++++++
++++++++++++ ++++++ $-sqrt(1-k) -------------$sqrt(1-k)$ +++++++++++++++
Moltiplicando i segni e tenendo conto che e': disequazione<0 ,si vede che la
stessa e' soddisfatta in due intervalli di cui pero' solo uno e' un intorno sinistro di 1
e precisamente deve essere :$ +sqrt(1-k)
Ritornando alla M si puo' anche scrivere:
$sqrt(1-1/(log_(1/2)M))
Archimede
Si ha :
$1/(x^2-1)+1/k<0$ da cui si trae la disequazione:
$(x^2-(1-k))/(k(x^2-1))<0$
Come di norma,poniamo numeratore e denominatore entrambi >0:
N) $x^2-(1-k)>0->x<-sqrt(1-k),x>sqrt(1-k)$
D) $x^2-1>0->x<-1,x>1$
Rappresentiamo graficamente:
++++++++++++ -1 ------------------------------- +1 +++++++++++
++++++++++++ ++++++ $-sqrt(1-k) -------------$sqrt(1-k)$ +++++++++++++++
Moltiplicando i segni e tenendo conto che e': disequazione<0 ,si vede che la
stessa e' soddisfatta in due intervalli di cui pero' solo uno e' un intorno sinistro di 1
e precisamente deve essere :$ +sqrt(1-k)
Ritornando alla M si puo' anche scrivere:
$sqrt(1-1/(log_(1/2)M))
Archimede
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