Disequazione

hoffman1
$ √(x+1) - √(x+4)< |x| +√x $

C'è un modo per farmi entrare nella testa questo tipo di esercizi ? Riesco a fare i valori assoluti e le disequazioni con radice però così no..
Quello che mi viene da fare è isolare il valore assoluto così :
$ √(x+1) - √(x+4)- √x< |x| $

Risposte
axpgn
Ma perché vi fate tutti 'sti problemi col valore assoluto? Senza inventarsi niente, si usa la definizione e si "scinde" la disequazione nei due casi. Punto.
Questo in generale poi nel caso in questione dato che il C.E. è $x>=0$ la questione non si pone proprio ...

hoffman1
ma il problema è che ci sono 3 radicale e non riesco a capire quanti sistemi devo fare

axpgn
Premesso che il problema sembrava fosse il valore assoluto, questa si risolve ad occhio in un paio di secondi ... mi ci vuole molto di più a spiegarla ...

Dato che abbiamo $sqrt(x)$ il C.E. è $x>=0$, ora siccome $x+4$ sarà sempre maggiore di $x+1$, il membro di sx sarà sempre negativo mentre quello di dx sempre positivo ...

Vi spaventate troppo presto ...

Return89
"hoffman":
C'è un modo per farmi entrare nella testa questo tipo di esercizi ?$

Come già detto, semplicemente distingui i due casi e lavori sulle due disequazioni che ottieni separatamente. Alla fine unisci le soluzioni che hai trovato e l'esercizio è risolto.
Per quanto riguarda le radici, se il problema è quando ne trovi più di due, anche qui banalmente puoi applicare un metodo standard: isoli una radice a destra (o sinistra) e metti il resto della disequazione a sinistra (o destra), quindi elevi al quadrato ambo i membri (ricordati sempre le condizioni d'esistenza!). In tal modo, nel caso di 3 radici puoi verificare che con questo passaggio otterrai una sola radice e a questo punto credo tu sappia risolvere una disequazione con una radice.

[Piccola digressione. E' chiaro che per chi ne ha risolte tante (e anche tanto più complesse di questa) un esercizio come quello da te proposto è risolvibile quasi istantaneamente e molti passaggi sono superflui. Immagino però che se chiedi aiuto è perché hai da poco iniziato a trattare questo argomento o, semplicemente, non riesci ancora a padroneggiarlo bene. Quindi il mio consiglio per ora è quello di applicare sempre tutti i passaggi così sarai sicuro di non far errori. Pian piano capirai e, aggiungo, "vedrai" le soluzioni semplicemente osservando il testo.]

axpgn
@Return89
A mio parere questo esercizio va risolto come ho detto e dico ciò non perché sia in disaccordo con il tuo post ma perché penso che l'obiettivo dell'autore fosse quello di stimolare "l'occhio" e non spingere verso i "calcoli"... la struttura dell'esercizio porta a questo: la radice di $x$ che "visualizza" immediatamente il C.E., l'unico modulo, semplicissimo, reso "inutile" dal C.E., i radicandi simili e facilmente confrontabili ... IMHO ... :D

Cordialmente, Alex

hoffman1
Sinceramente non credevo di essere così scarso ..

axpgn
No, ma che c'entra? Hai detto che risolvi disequazioni con radici ed equazioni con valori assoluti e quindi non vedo il problema quando te li ritrovi insieme ... come detto "scindi" il valore assoluto in due equazioni/disequazioni e prosegui normalmente poi unisci i risultati ...

hoffman1
Sisi , ora ho capito. Più che altro era una riflessione dato che tra due mesi dovrò studiare per analisi 1 ..

hoffman1
Voglio condividere con voi questa risoluzione perchè forse sto capendo come ''spezzare'' le disequazioni
$ ||x|-3|<2 $

$ { ( |x|-3 > -2 ),( |x| -3 < 2):} $
Prima disequazione

$ |x| > 1 rArr x > +- 1 $
Seconda disequazione

$ |x| < 5 rArr x < +- 5 $

Ed esce -5

axpgn
I risultati sono giusti ma quello che hai scritto ha poco senso ... :-k

"Spezziamo" il primo valore assoluto, quello più esterno ...

${(|x|-3>=0),(|x|-3<2):}\ \ uu\ \ {(|x|-3<0),(3-|x|<2):}$

Otteniamo due sistemi (come abbiamo sempre detto), uno quando l'argomento del valore assoluto è maggiore o uguale zero, l'altro altrimenti.

Adesso spezziamo il secondo valore assoluto e quindi avremo quattro sistemi ...

${(x>=0),(x-3>=0),(x-3<2):}\ \ uu\ \ {(x<0),(-x-3>=0),(-x-3<2):}\ \ uu\ \ {(x>=0),(x-3<0),(3-x<2):}\ \ uu\ \ {(x<0),(-x-3<0),(3+x<2):}$

Risolvendoli ...

${(x>=0),(x>=3),(x<5):}\ \ uu\ \ {(x<0),(-3>=x),(-5=0),(x<3),(1
Ovvero ...

$3<=x<5\ \ uu\ \ -5
Che riordinati danno ...

$-5
Ok?

hoffman1
Siccome il mio ''problema '' è l'impostazione ora cerco di farne un'altra senza però finirla

$ |x+2 | + | x^2 - 1 | > 3 $

Studio il segno di entrambi i valori assoluti
$ x + 2 >= 0 rArr x >= -2 $

$ x^2 - 1 >= 0 rArr x >= +- 1 $

sistema

${ ( -x - 2 + x^2 - 1 > 3 ),( x < - 2):} $

$ { ( x + 2 + x^2 - 1 > 3 ),( -2< x <- 1):} $

$ { ( x + 2 - x^2 + 1 > 3 ),( -1 < x < - 1):} $ $ { ( x + 2 + x^2 - 1 > 3 ),( x > 1):} $

hoffman1
ho sbagliato di nuovo ad impostare i valori ?

axpgn
Premessa:
Non scrivere più questo orrore $x>=+-1$ ... le soluzioni di $x^2-1>=0$ sono $x<= -1\ \ uu\ \ 1<=x$ ... ok?

Considerazione:
Hai adottato il metodo alternativo a quello "scolastico" che ho usato prima, questione di gusti, di solito questo è più "corto" ma ha qualche insidia in più ... IMHO ...

Conclusione:
I quattro sistemi sono corretti (tranne per un refuso nel terzo) :smt023

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