Disequazione

[AlessiaDepp]

Buongiorno a tutti!
Dovrei o per meglio dire vorrei risolvere la seguente disequazione ma non vi riesco, non perchè sia difficile lei quanto perchè sono scarsina io.
$x*x*x<(x+1)*(x+1)$
Ho fatto il primo passaggio
$x^3<(x+1)^2$
Poi ho preso in considerazione l'equazione
$x^3-(x+1)^2=0$
e qui mi fermo perchè non so più andare avanti.
Per quali valori interi della $x$ si verifica la disequazione. Mi fate vedere come svolgete i passaggi.
Grazie a tutti.

[burm87]

La mia idea è quella di svolgere il quadrato, ti trovi con $x^3-x^2-2x-1=0$ e di cercare di scomporre questa con un qualche metodo, per esempio con Ruffini.

[AlessiaDepp]

Grazie burm87.
I divisori del termine noto sono $1$ e $-1$. Il polinomio non si annulla.
$(1)^3-(1)^2-2-1=-3$
$(-1)^3-(-1)^2+2-1=1$
e adesso?

[burm87]

Ok, non è scomponibile. A questo punto non ti resta che fare una valutazione grafica di $x^3=x^2+2x+1$, che altro non sono che una cubica e una parabola.

[AlessiaDepp]

Fatto (non so se bene). Quindi $x^3<(x+1)^2$ non si realizza mai?

[burm87]

Si realizza si, il valore è un po' dopo due, potresti aiutarti con un qualche software (oppure wolphramalpha) per disegnare le funzioni.

[AlessiaDepp]

Grazie per tutto questo tempo che mi stai dedicando per fare in modo che impari!

Non so usare wolphramalpha, ma penso che il valore sia $2.1478990357047874$, quindi dovrebbe realizzarsi per $x$ che va da $2$ a $-00$, vero?
Visto che cerco solo interi postivi (non ho specificato "positivi" nel messaggio d'apertura: scusa),si realizza solo per $1$e $2$,vero?

[AlessiaDepp]

Ho usato questo http://utenti.quipo.it/base5/numeri/equasolutore.htm , che risolve ma non insegna.

[burm87]

Se cerchi solo interi positivi si realizza tra $1$ e $2$ si.

[AlessiaDepp]

Ancora una cosa Burn87, se avessi $x^3<(x/2)^2$ per quali interi positivi si realizzerebbe?
p.s.: non so come ringraziarti se non ridicendo "graziee"!!

[chiaraotta1]

$x^3<(x/2)^2->x^3<(x^2)/4->x^2(x-1/4)<0$
Fra i reali le soluzioni sarebbero $x<0 vv 0

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[AlessiaDepp]

Grazie chiaraotta.
In realtà, però, ho sbagliato a scrivere, non $x^3<(x/2)^2$ ma $x^3<(2x)^2$.
A me da i seguenti risultati per gli interi positivi: $1$,$2$,$3$, secondo voi le soluzioni sono giuste?
Posso quindi dire che per valori (interi positivi) di $x>4$, $(2x)^2$ è sempre minore di $x^3$?
Aggiungendo che per valori (interi positivi) di $x>2$, $(x+1)^2$ è sempre minore di $x^3$?

[burm87]

E' la stessa cosa:
$x^3<(2x)^2$
$x^3<4x^2$
$x^3-4x^2<0$
$x^2(x-4)<0$
$x<0 vv 0 Le soluzioni intere positive sono correttamente $1$, $2$ e $3$. Per i valori maggiori di $4$ puoi dire che $(2x)^2

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[AlessiaDepp]

Ottimo, grazie.

[burm87]

Di nulla.