Disequazione

[bblack25]

Salve,
come posso risolvere questa disequazione?

$x+6log((x-1)/(x-2))>0$

Graziee!!

[_prime_number]

Questo tipo di disequazioni dove ci sono sia termini lineari ($x$) che esponenziali ($log(...)$ oppure $e^{...}$) si risolvono in maniera grafica di solito.
Puoi iniziare studiando la derivata della funzione per vedere i suoi intervalli di crescenza e decrescenza, che ti daranno qualche indizio sul numero degli zeri ( ad esempio, una funzione strettamente monotona crescente, se ci pensi, può avere al massimo uno zero). Dopo di che applica un metodo numerico, come la bisezione o Newton.

Paola

[minomic]

Ciao, quello che dice Paola è certamente vero e in molti casi è necessario fare il grafico e applicare i metodi numerici.
In questo caso però possiamo risolvere tutto "a occhio"!
Innanzitutto riscriviamo la disequazione così: $6log((x-1)/(x-2)) > -x rarr 6log(1+1/(x-2)) > -x$
Partiamo dal dominio: $x in (-oo, 1) uu (2, +oo)$

Se $x > 2$ l'argomento del logaritmo è maggiore di $1$, quindi il logaritmo è positivo. A destra invece abbiamo $-x$ che è negativo e ovviamente un positivo è sempre maggiore di un negativo. Quindi la semiretta $(2, +oo)$ è soluzione.

Se $x < 1$ l'argomento del logaritmo è minore di $1$, quindi il logaritmo è negativo. Questo logaritmo tenderà a $0$ quando la $x$ si avvicina a $-oo$ e tende a $-oo$ quando la $x$ si avvicina a $1$, quindi si intuisce che starà sempre sotto alla retta di equazione $y=-x$. In conclusione la semiretta $(-oo, 1)$ non è soluzione.

Risultato finale: $x > 2$.

Posto il grafico per maggiore chiarezza:

[bblack25]

Grazie ad entrambi...in effetti a partire dal dominio bisognava fare delle considerazioni!è pur vero che questo esercizio l'ho estrapolato da uno studio di funzione della quale non riuscivo a studiare il segno...