Disequazione : $1-tg^2(x)>0$

[noise1]

Salve a tutti, ho un dubbio su una disequzione abbastanza facile :

$1-tg^2(x)>0$, l'ho scritta come $tg^2(x)-1<0$ quindi $-1
Quindi si ha:

$tg(x)<1$ <=> $x in[-pi/2 +kpi, pi/4+kpi]$ Quindi l'intersezione è $x in[-pi/2 +kpi, pi/4+kpi]$
$tg(x)> -1$ <=> $x in[-pi/4 +kpi, pi/2+kpi]$


Poi ho considerato
$tg(x)>1$ <=> $x in[pi/4 +kpi, pi/2+kpi]$ Quindi l'intersezione è $x in[pi/4 +kpi, pi/2+kpi]$
$tg(x)< -1$ <=> $x in[-pi/2 +kpi, -pi/4+kpi]$


L'unione quindi mi viene $x in[-pi/2 +kpi, pi/2+kpi]$ mentre il risultato è $x in[-pi/4 +kpi, pi/4+kpi]$


Qual'è la scemenza che ho fatto?

Tnks all

[adaBTTLS1]

se dici giustamente $-1 < tgx < 1$ vuol dire che la tangente di x deve essere compresa tra i due valori, cioè entrambe le diseguaglianze devono essere verificate contemporaneamente. quindi si tratta di un sistema, e bisogna fare l'intersezione delle soluzioni e non l'unione....
però è molto più semplice risolverle contemporaneamente: $x in (-pi/4 + k pi, +pi/4 + k pi ) $ (gli estremi non sono compresi se la diseguaglianza è stretta). ciao.

[Camillo]

Il tuo post mi è di difficile lettura ; il problema mi sembra sia il segno che indica appartenenza a un intervallo, insieme o altro che dovrebbe essere in .
Comunque direi che l'errore sta nel $pi/2$ che appare : la tangenete vale -1 e 1 quando l'angolo vale rispettivamente $-pi/4,+pi/4$.
A questo aggiungi poi la periodicità data da $ kpi $.

[noise1]

Per la questione dei $pi/2$ ho applicato semplicemente il procedimento che il mio "fantastico" libro di testo mi chiede :




Ho considerato certo l'intersezione delle soluzioni dei due sistemi, ma poi queste ultime vanno unite.

[adaBTTLS1]

mi sono accorta ora che in realtà hai sbagliato a fare la prima intersezione...
tutto il resto è inutile.
quindi la prima parte è quasi corretta, tranne per il fatto che nell'intersezione si parte da $-pi/4$ e non da $-pi/2$ ed inoltre gli estremi non vanno presi.
ciao.

[noise1]

Perchè si parte da $-pi/4$? Sul libro mi dice chiaramente che quando si tratta di $tg<$ l'intervallo parte da $-pi/2$

[Camillo]

Io ti consiglio di tracciare il diagramma di $tg x $ , da $ -pi/2 $ fino a $2pi $ ad esempio.
Poi traccia le rette $y=-1; y=1 $ e vedi per quali valori di $ x $ la tg è compresa tra -1 e +1 .

Secondo me il metodo del cerchio trigonometrico va benissimo per risolvere disequazioni in senx e in cos x ma per quelle in tgx molto meglio il diagramma della funzione stessa.

[adaBTTLS1]

sto dicendo che sono esatte, tranne che per l'uso della parentesi quadra, le implicazioni che hai scritto a sinistra.
però i due intervalli vanno intersecati perché, come ti ho scritto nel primo messaggio, le due disequazioni devono essere verificate contemporaneamente:
trascurando la periodicità, il primo intervallo è $(-pi/2, +pi/4)$ ed il secondo è $(-pi/4, +pi/2)$ e quindi l'intersezione è $(-pi/4, +pi/4)$ . è chiaro?

[noise1]

Ma graficamente come faccio a fare l'intersezione sul cerchio trigonometrico? Quando la faccio mi trovo $-pi/2, pi/4$

Non mi puoi fare uno schizzo?

[noise1]

"Camillo": Secondo me il metodo del cerchio trigonometrico va benissimo per risolvere disequazioni in senx e in cos x ma per quelle in tgx molto meglio il diagramma della funzione stessa.

Camillo puoi spiegarmi anche il metodo che usi tu? Perchè non ho capito cosa intendi.

[adaBTTLS1]

il grafico non lo saprei inserire ma provo a farmi capire

$x$..............$-pi/2$.....................$-pi/4$.......................$0$......................$pi/4$......................$pi/2$.........
$tgx$.......... $-oo$.....................$-1$.......................$0$......................$+1$......................$+oo$.......

$tgx > -1$ ....................................__________________________________________________.........
$tgx < +1$ ...._________________________________________________...........................................

$-1 < tgx <+1$ ............................._______________________________...........................................

quindi la soluzione è quella che doveva essere, intersezione delle due precedenti (linea continua quando la disuguaglianza è verificata).
OK? ciao.

[Camillo]

Ecco il grafico



E'riportata la funzione $y = tan x $ -sarebbe meglio se l'asse delle ascisse avesse la scala in multipli di $ pi $ ma non so come sia fattibile.
Sono poi tracciate le rette orizzontali di equazione $ y= 1 ; y=-1 $ ( la seconda è una linea verde) .
La disequazione ci diceva che la soluzione si ha per i valori di $ x $ tali che la $tan x $ sia compresa tra i valori di $ -1,+1$ , cioè a dire compresi nella striscia indicata.
Quando si ha che $tanx = -1 $ ? un valore è $x=-pi/4 $ e poi la funzione è $< 1 $ finchè $x $ raggiunge il valore di $ pi/4$.
La soluzione è quindi $ -pi/4

Cita

Segnala

[noise1]

Ho capito, finalmente mi trovo. In pratica il cerchio trigonometrico come diceva camillo non conviene usarlo per $tg(x)$. O si fa la normale retta come ha fatto adaBTTLS sulla quale si mettono i valori oppure si traccia il grafico di $tg(x)$.
Vi ringrazio ad entrambi, siete stati molto gentili