Disequazion Valore Assoluto;-Con risultato Valore assoluto

[Danying]

Salve;

Sto svolgendo disequazioni di tutti i tipi in queste ultime ore....

mi è capitata una disequazione nel testo ... a cui non ho saputo dare una conclusione chiara... vi spiego.

la disequazione in questione è: $|x^2-1|<1/4$ all'apparenza semplice... " per molti, anche in pratica hihh"

cmq...
sappiamo che la suddetta disequazione è equivalente ad $1) x^2-1<1/4$ e $2) x^2-1> -1/4$

risolviamo la 1°; $x^2-1-1/4<0 -> 4x^2-5<0 $ e quindi la soluzione soddisfante "dovrebbe essere" $ -sqrt(5/4)
per la seconda si ha: $ x^2-1+1/4>0 -> 4x^2-4+1>0$ la soluzione è $x<-sqrt(3/4) , x>sqrt(3/4)$ facendo il prodotto dei segni il risultato non combacia completamente con il testo dove addirittura compare il valore assoluto e soluzioni scritte in maniera diversa...;

sicuramente avrò tralasciato qualche cosa.... cmq la soluzione "giusta" secondo il testo è $sqrt(3)/2<|x|
Spero possiate aiutarmi a capire...

Grazie!

Cordiali Saluti.

[sssebi]

Quando togli il quadrato nel primo membro devi porre tutto sotto radice, compreso il denominatore. Sia nel primo caso che nel secondo caso hai lasciato il 4 che invece dovrebbe essere 2 perchè posto sotto radice come hai fatto col 5 nel primo caso e col 3 nel secondo caso.

[Danying]

"sssebi":Quando togli il quadrato nel primo membro devi porre tutto sotto radice, compreso il denominatore. Sia nel primo caso che nel secondo caso hai lasciato il 4 che invece dovrebbe essere 2 perchè posto sotto radice come hai fatto col 5 nel primo caso e col 3 nel secondo caso.

ammesso e non concesso che questo è vero... e lo è!

quei quattro diventino due.... ma tutto il resto ai fini del prodotto dei segni e della soluzione scritta in quel modo con valore assoluto di x compreso tra quei due valori ??

potreste gentilmente postare la risoluzione adatta .. se non chiedo molto ...

[Nicole931]

non devi fare il prodotto dei segni, in quanto la disequazione $|x^2-1|<1/4$ si esplicita in :
$-1/4 $\{(x^2-1> -1/4),(x^2-1<1/4):}$
le soluzioni delle due disequazioni sono quelle che hai scritto tu; ora devi confrontarle e , prendendo gli intervalli in cui vi sono soluzioni comuni, avrai:
$-sqrt5/2

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[Danying]

"Nicole93":non devi fare il prodotto dei segni, in quanto la disequazione $|x^2-1|<1/4$ si esplicita in :
$-1/4 $\{(x^2-1> -1/4),(x^2-1<1/4):}$
le soluzioni delle due disequazioni sono quelle che hai scritto tu; ora devi confrontarle e , prendendo gli intervalli in cui vi sono soluzioni comuni, avrai:
$-sqrt5/2

grazie mille ora ho capito.

nelle disequazioni fratte di secondo grado il prodotto dei segni si deve fare però...


$(-x^2+6x-5)/(1+|3x-4|)>=0 ;$ Numeratore:: $/Delta=16 , x1= x<5 ; x2= x>1 $

Denominatore Se $|3x-4|>0 -> x>1$
Se $ |3x-4|<0 x<5/3$

ecco anche quì le soluzioni sono giuste ma errate... nel senso che

la soluzione è 1
invece a me risulta compreso tra 5 e 5/3

[sssebi]

$(-x^2+6x-5)/(1+|3x-4|)>=0 ;$

Non ho capito i tuoi passaggi comunque questo caso è diverso perchè l'incognita si trova anche fuori il valore assoluto.

La disequazione si divide in due, per $ x>4/3 $ gli elementi dentro il valore assoluto mantengono il segno e la disequazione è $ (-x^2+6x-5)/(3x-3)>=0 $ invece per $ x<4/3 $ il segno cambia $ (-x^2+6x-5)/(5-3x)>=0 $
Svolgendoli entrambi troverai i valori.

[giammaria2]

Per il denominatore consiglio un ragionamento semplicissimo: è sempre positivo, perchè lo sono entrambi i suoi addendi (bè, uno può annullarsi, ma non modifica le cose). Quindi l'unico segno che interessa è quello del numeratore.

[^Tipper^1]

Non accorgendosi immediatamente che il denominatore è sempre positivo si poteva fare:

$N>=0 -> 1<=x<=5$
$D>0 -> 3x-4> -1 V 3x-4<1$ ?

[giammaria2]

E' giusto, ma non ho capito bene con che ragionamento l'hai ottenuto.

[^Tipper^1]

Però poi ottengo: $x>1 V x<5/3$
Facendo poi il sistema con $1<=x<=5$ non mi torna.

[Danying]

"Mirino06":Non accorgendosi immediatamente che il denominatore è sempre positivo si poteva fare:

$N>=0 -> 1<=x<=5$
$D>0 -> 3x-4> -1 V 3x-4<1$ ?

è la stessa cosa che è venuta a me....

perfetto fino a quà ci siamo!

anzi io avevo commesso une errore nel rappresentare le soluzioni del numeratore esterne e non interne come giustamente si doveva are dato che il termine $ax^2$ è negativo...

anche a me facendo il sistema non combaciano le x positive che dovrebbero stare tra 1 e 5.

[giammaria2]

Forse sto rimbecillendo. Posto per brevità a=3x-4, da (a>-1) vel (a<1) si ottiene "sempre vero". Sei sicuro di non aver fatto l'intersezione? Se sì, allora sarebbe la soluzione di |a|<1.

[^Tipper^1]

Chiedendola $>=0$, facendo la regola dei segni, mi torna $x<5/3$ vel $x>5$ Dov'è che sbaglio?

[Danying]

"Mirino06":Chiedendola $>=0$, facendo la regola dei segni, mi torna $x<5/3$ vel $x>5$ Dov'è che sbaglio?

speriamo possiamo trovare la soluzione per future risoluzioni di disequazioni di questo tipo

con disequzione di secondo grado a numeratore e modulo al denominatore.

[giammaria2]

Ci sono! Inizialmente mi era parso di seguire il vostro ragionamento, poi ho visto che sbagliavo e non ho più capito niente, infine ho avuto l'illuminazione: state facendo il mio stesso errore (più un altro). Partiamo da D>0, cioè $|3x-4|> -1$: ragionando sui segni si può subito dire che è sempre verificata. Se però non lo si vede, allora il ragionamento è:
- Può essere $3x-4>=0$ ed allora $3x-4> -1$: la seconda condizione è inutile perchè compresa nella prima (l'errore è considerare inutile la prima), quindi $3x-4>=0$
- oppure $3x-4<0$ ed allora $-(3x-4)> -1$, cioè $3x-4<1$: di nuovo la seconda è inutile e la conclusione è $3x-4<0$
Unendo assieme i due casi (mi pare che voi ne facciate l'intersezione), la disequazione è sempre vera.

La cosa buffa è che il primo errore, da solo, non modificava il risultato finale: da $(x>1)vv(x<5/3)$ si ricava comunque "sempre vero"

[^Tipper^1]

Il libro gli dava una risposta per $1

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[giammaria2]

Certo: è la soluzione di N>0. Il mio ultimo intervento si riferiva al solo denominatore.

[^Tipper^1]

Scusami se non capisco. Il risultato del $N>=0$ è $1<=x<=5$ mentre il $D>0$ è $(x>1) v (x<5/3)$. A questo punto io faccio il sistema tra queste due soluzioni, faccio la regola dei segni, e, siccome la disequazione la chiede $>0$ mi torna, come detto in qualche post precedente, $(x<5/3) v (x>5)$

Edit: ho capito.

[Nicole931]

"mat100":
nelle disequazioni fratte di secondo grado il prodotto dei segni si deve fare però...


$(-x^2+6x-5)/(1+|3x-4|)>=0 ;$ Numeratore:: $/Delta=16 , x1= x<5 ; x2= x>1 $

Denominatore Se $|3x-4|>0 -> x>1$
Se $ |3x-4|<0 x<5/3$

ecco anche quì le soluzioni sono giuste ma errate... nel senso che

la soluzione è 1
invece a me risulta compreso tra 5 e 5/3

non puoi porre un valore assoluto minore di zero, quindi è sbagliato scrivere $|3x-4|<0 , x<5/3$
dunque il denominatore, come ti ha già detto giammaria, è sempre positivo, e non c'è nessun altro passaggio da fare (al massimo puoi porre 1+|3x-4|>0 , da cui segue |3x-4|>-1, e questa disuguaglianza è vera per ogni x reale)

ti consiglio inoltre, per evitare di fare confusione, di cambiare segno al numeratore, in modo da avere il coefficiente di $x^2$ positivo
la tua disequazione allora diventa:
$(x^2-6x+5)/(1+|3x-4|)<=0$
per quanto appena detto, il denominatore è sempre strettamente positivo, quindi basta risolvere la disequazione:
$x^2-6x+5<=0$, che ha come risultato proprio $-1<=x<=5$

[^Tipper^1]

Non $-1$ ma $1$

[giammaria2]

"Mirino06": ... mentre il $D>0$ è $(x>1) v (x<5/3)$.

Falso. Rileggi i miei ultimi interventi: il D>0 è sempre verificato.

Edit: Vedo che hai modificato e capito, ma lascio questa risposta per eventuali altri lettori.