Discussione sistema con parametro
Ragazzi, ebbene sí non so come procedere in questo esercizio!!
Ho questo sistema:
tg^2 (x) - 2*(k-1)*tg(x)+3 = 0
0 <= x < pi.greco/2
che ho iniziato a risolvere ponendo tg(x) = t
quindi: t^2 - 2kt + 2t + 3 = 0
da una parte metto i termini senza il k, dall' altra ci metto quelli col k,
e quindi faccio il sistema fra :
y = t^2 + 2t + 3 (parabola)
y = 2kt (fascio di rette passanti per l' origine)
dalla condizione di partenza: 0 <= x < pi.greco/2
si evince la seguente t >= 0
la parabola ha vertice V (-1;2) e interseca l' asse y in (0;3)
ho fatto il disegno e riconosco a vista una porzione del fascio di rette che interseca 2 volte la parabola, peró non capisco come determinare algebricamente i valori dei k per 1 e 2 intersezioni (la tangenza é trattata come doppia intersezione).
come potrei procedere?
GRAZIE MILLE!
il risultato é
1 soluzione per k > 3
2 soluzioni per 2 <= k <= 3
Ho questo sistema:
tg^2 (x) - 2*(k-1)*tg(x)+3 = 0
0 <= x < pi.greco/2
che ho iniziato a risolvere ponendo tg(x) = t
quindi: t^2 - 2kt + 2t + 3 = 0
da una parte metto i termini senza il k, dall' altra ci metto quelli col k,
e quindi faccio il sistema fra :
y = t^2 + 2t + 3 (parabola)
y = 2kt (fascio di rette passanti per l' origine)
dalla condizione di partenza: 0 <= x < pi.greco/2
si evince la seguente t >= 0
la parabola ha vertice V (-1;2) e interseca l' asse y in (0;3)
ho fatto il disegno e riconosco a vista una porzione del fascio di rette che interseca 2 volte la parabola, peró non capisco come determinare algebricamente i valori dei k per 1 e 2 intersezioni (la tangenza é trattata come doppia intersezione).
come potrei procedere?
GRAZIE MILLE!
il risultato é
1 soluzione per k > 3
2 soluzioni per 2 <= k <= 3
Risposte
non so se il tuo metodo ti porti da qualche parte, ma
forse puoi risolvere il problema semplicemente risolvando l'equazione di secondo grado in t e vedendo cosa ti esce...
cioe' un op' confusamente, pero' vogli odirti che non ho capito perche' hai diviso in due l'equazione.
ciao alex
forse puoi risolvere il problema semplicemente risolvando l'equazione di secondo grado in t e vedendo cosa ti esce...
cioe' un op' confusamente, pero' vogli odirti che non ho capito perche' hai diviso in due l'equazione.
ciao alex
inrealta', non credo che basti discutere il delta dell'equazione in t.
infatti l'esercizio richiede di trovare per quali valori del parametro l'equazione in x ha 0, 1 o 2 soluzioni.
a questo proposito mi viene in mente che, essendo x limitato tra 0 e pi/2 , allora si avranno
tante soluzioni per x quante sono le soluzioni POSITIVE per t
infatti l'esercizio richiede di trovare per quali valori del parametro l'equazione in x ha 0, 1 o 2 soluzioni.
a questo proposito mi viene in mente che, essendo x limitato tra 0 e pi/2 , allora si avranno
tante soluzioni per x quante sono le soluzioni POSITIVE per t
"codino75":
a questo proposito mi viene in mente che, essendo x limitato tra 0 e pi/2 , allora si avranno
tante soluzioni per x quante sono le soluzioni POSITIVE per t
appunto, é quello che ho scritto.
il libro svolge cosí gli esercizi, termini senza k da una parte, termini con k dall' altra
e poi si crea il sistema con y = .... .
in un esercizio simile .. in cui il testo era + o - cosí (non ho + i l libro sottomano)
sen^2(x)-3ksen(x)+2=0
il libro pone sen(x) = t
e quindi io ho seguito quel metodo.
sei sucuro delle soluzioni riportate dal libro?
seguendo il metodo grafico, ci sara' un solo valore di k per il quale c'e' tangenza, mentre per valori maggiori ci saranno 2 soluzioni positive distinte.
seguendo il metodo grafico, ci sara' un solo valore di k per il quale c'e' tangenza, mentre per valori maggiori ci saranno 2 soluzioni positive distinte.
"codino75":
sei sucuro delle soluzioni riportate dal libro?
seguendo il metodo grafico, ci sara' un solo valore di k per il quale c'e' tangenza, mentre per valori maggiori ci saranno 2 soluzioni positive distinte.
sí son sicuro di averle lette e riportate bene, peró i conti proprio non mi tornano , perché ponendo il delta = 0 trovo 2 valori di k, il primo viene k1 = 1-radq(3), il secondo viene k2 = 1+radq(3)
praticamente il disegno é cosí:
e devo considerare solo il semipiano a destra. quindi l' unica retta tangente alla parabola é quella corrispondente a k = 1+radq(3).
effettivamente quei risultati sono strani
basta che fai una controprova.
nel senso che scegli un vslore di k maggiore di 3 (per esempio 5) e vedi quante soluzioni ci sono.
nel senso che scegli un vslore di k maggiore di 3 (per esempio 5) e vedi quante soluzioni ci sono.
"codino75":
basta che fai una controprova.
nel senso che scegli un vslore di k maggiore di 3 (per esempio 5) e vedi quante soluzioni ci sono.
difatti secondo me viene
2 soluzioni per k >=1+radq(3)
ma com'é possibile che il libro abbia cannato cosí di brutto???
"DarkAngel":
[quote="codino75"]basta che fai una controprova.
nel senso che scegli un vslore di k maggiore di 3 (per esempio 5) e vedi quante soluzioni ci sono.
difatti secondo me viene
2 soluzioni per k >=1+radq(3)
ma com'é possibile che il libro abbia cannato cosí di brutto???
[/quote]veramente dovrebbe essere
2 soluzioni per k >1+radq(3)
1 soluzione per k =1+radq(3)
"DarkAngel":
(la tangenza é trattata come doppia intersezione).
"DarkAngel":
[quote="DarkAngel"](la tangenza é trattata come doppia intersezione).
[/quote]
Credo che la stiate facendo troppo complicata. Io farei così:
Posto $t=tanx$, $x=tan^(-1)t$, quindi $0<=tan^(-1)t<=pi/2$, nonchè $t>=0$.
Risolvendo l'equazione di secondo grado in $t$ si trova $t=k-1 pm sqrt((k-1)^2-3)$, quindi le soluzioni sono sempre 2, tranne quando $(k-1)^2-3=0$, cioè quando $k=1 pm sqrt3$.
Dobbiamo assicurarci che le soluzioni trovate rispettino la condizione $t>=0$. Perciò, siccome $k-1-sqrt((k-1)^2-3)>=0$ e $k-1+sqrt((k-1)^2-3)>=0$ se e solo se $x>=1+sqrt3$, la discussione del sistema è:
° Per $k<1+sqrt3$ non ci sono soluzioni;
° Per $k=1+sqrt3$ c'è una sola soluzione;
° Per $k>1+sqrt3$ ci sono due soluzioni.
Posto $t=tanx$, $x=tan^(-1)t$, quindi $0<=tan^(-1)t<=pi/2$, nonchè $t>=0$.
Risolvendo l'equazione di secondo grado in $t$ si trova $t=k-1 pm sqrt((k-1)^2-3)$, quindi le soluzioni sono sempre 2, tranne quando $(k-1)^2-3=0$, cioè quando $k=1 pm sqrt3$.
Dobbiamo assicurarci che le soluzioni trovate rispettino la condizione $t>=0$. Perciò, siccome $k-1-sqrt((k-1)^2-3)>=0$ e $k-1+sqrt((k-1)^2-3)>=0$ se e solo se $x>=1+sqrt3$, la discussione del sistema è:
° Per $k<1+sqrt3$ non ci sono soluzioni;
° Per $k=1+sqrt3$ c'è una sola soluzione;
° Per $k>1+sqrt3$ ci sono due soluzioni.
"elgiovo":
Credo che la stiate facendo troppo complicata. Io farei così:
Posto $t=tanx$, $x=tan^(-1)t$, quindi $0<=tan^(-1)t<=pi/2$, nonchè $t>=0$.
Risolvendo l'equazione di secondo grado in $t$ si trova $t=k-1 pm sqrt((k-1)^2-3)$, quindi le soluzioni sono sempre 2, tranne quando $(k-1)^2-3=0$, cioè quando $k=1 pm sqrt3$.
Dobbiamo assicurarci che le soluzioni trovate rispettino la condizione $t>=0$. Perciò, siccome $k-1-sqrt((k-1)^2-3)>=0$ e $k-1+sqrt((k-1)^2-3)>=0$ se e solo se $x>=1+sqrt3$, la discussione del sistema è:
° Per $k<1+sqrt3$ non ci sono soluzioni;
° Per $k=1+sqrt3$ c'è una sola soluzione;
° Per $k>1+sqrt3$ ci sono due soluzioni.
si' in effetti il procedimento e' lo stesso.
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