DISCUSSIONE GRAFICHE DI UNA PARABOLA

[Domus92]

[math]\begin{cases} y=2x^2+4x \\ y-3kx+k+2=0 \\ -1\le x\le1
\end{cases} [/math]

AIUTATEMI!!!

[BIT5]

Il problema (di cui avresti potuto anche scrivere il testo!) e' cosi' fatto:

hai una parabola e un fascio di rette.

Devi, nell'intervallo chiuso [-1,1] discutere le intersezioni della retta al variare di k.

Per prima cosa, metti a sistema la retta con la parabola.

[math] y=3kx-k+2 [/math]

sostituisci nella parabola a y il corrispondente che ti fornisce la retta

[math] 3kx-k+2=2x^2+4x \to 2x^2+4x-3kx+k-2=0 [/math]

a questo punto ti porti l'equazione di secondo grado nella forma tradizionale

[math] ax^2+bx+c=0 [/math]

[math] 2x^2+(4-3k)x+k-2=0 [/math]

Come puoi notare:

[math] a=2 \\ b=4-3k \\ x=k-2 [/math]

Quando hai un'equazione di secondo grado, il numero delle soluzioni ti viene "svelato" dal delta.

Se il Delta e' > 0 allora hai due soluzioni reali e distinte;
se il delta e' = 0 allora hai due soluzioni reali coincidenti
se il delta e' 0 \to k^2-32k>0 \to k(k-32)>0 \to k32 [/math]

pertanto per questi valori di k, la retta interseca la parabola in due punti distinti

[math] \Delta=0 \to k=0 \ U k=32 [/math]

e la retta e' tangente

[math] \Delta < 0 \to 0 < k < 32 [/math]

e la retta e' esterna.

A questo punto devi considerare l'intervallo richiesto [-1,1]

Il punto di ascissa -1 della parabola ha ordinata

[math] 2(-1)^2+4(-1)=-2 [/math]

la retta, appartenente al fascio e passante per questo punto, e'

[math] -2-3k(-1)+k+2=0 \to -2+3k+k+2 \to k=0 [/math]

analogamente trovi che la retta passante per il punto della parabola (1,6) ha

[math] 6-3k+k+2=0 \to -2k=-8 \to k=4 [/math]

A questo punto riconsideriamo il fascio di rette:

[math] y-3kx+k+2=0 [/math]

e ricaviamoci le generatrici del fascio.

Non so se ricordi come si fa, ma si prendono tutti i valori senza k e tutti quelli con k (che devi raccogliere).

[math] y+2+k(-3x+1) [/math]

Pertanto le generatrici del fascio sono

[math] r_1:y+2=0 \to y=-2 \\ -3x+1=0 \to x= \frac13 [/math]

Il centro del fascio eè il punto di intersezione tra le due rette che sara'

[math] C( \frac13, -2) [/math]

Disegni la parabola e il fascio di rette, e verifichi le intersezioni con la parabola nell'intervallo chiuso [-1,1]

Sai che agli estremi k vale rispettivamente 0 e 4.

[Incognita X]

Forse ti posso aiutare... anche se è da qualche anno che non studio queste cose, quindi potrei aver dimenticato qualche concetto.

Tu devi discutere un equazione parametrica con la variabile dipendente limitata ad un certo intervallo. La prima equazione è una parabola. La seconda equazione è un fascio di rette. Al terzo posto hai l'intervallo.

Innanzitutto dovresti isolare la variabile dipendente

[math]y[/math]

.

[math]\begin{cases} y=2x^2+4x \\ y=3kx-k-2 \\ -1\le x\le1
\end{cases} [/math]

Per determinare il centro del fascio di rette devi individuare due rette appartenenti ad esso e metterle a sistema. Quindi per semplicità poni

[math]k=0[/math]

e

[math]k=1[/math]

.

[math]k = 0 \rightarrow y=-2[/math]

[math]k = 1 \rightarrow y=3x-3[/math]

[math]\begin{cases} y=-2 \\ y=3x-3
\end{cases} [/math]

Centro del fascio di rette:

[math]C(\frac{1}{3}, -2)[/math]

Consideriamo ora l'equazione della parabola

[math]y=2x^2+4x[/math]

e calcoliamo il vertice e l'intersezione con gli assi.

Ricordo che il vertice della parabola è

[math]V (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})[/math]

.

Nel tuo caso il vertice della parabola è

[math]V (-1, -2)[/math]

. Poiché nell'equazione della parabola manca il termine noto, essa passerà sicuramente per l'origine.

Ora calcoliamo l'intersezione della parabola con gli assi.

[math]y=0 \Rightarrow 2x^2+4x=0 \Rightarrow x(2x+4)=0 \Rightarrow x=0, x=-2[/math]

(Intersez. ASSE X)

[math]x=0 \rightarrow y=0[/math]

(Intersez. ASSE Y)

Calcoliamo ora i punti della parabola corrispondenti ai valori limiti imposti a

[math]x[/math]

. Basta sostituire i valori degli estremi dell'intervallo alla X della funzione. Si avrà:

per

[math]x = -1 \Rightarrow y = -2[/math]

--> A(-1,-2)

per

[math]x = 1 \Rightarrow y = 6[/math]

--> B(1,6)

In questo modo ricavo l'arco AB della parabola in cui trovare le soluzioni.

Non è ancora finito... però adesso ti disegno il grafico... un po' di pazienza... poi continuo con la risoluzione. :yes



Adesso devi vedere quali rette del fascio intersecano la parabola nei due punti A e B... quindi devi semplicemente sostituire le coordinate dei due punti nell'equazione del fascio e trovi i valori di K corrispondenti.

Equazione del fascio:

[math]y=3kx-k-2[/math]

Passante per A:

[math]K = 0[/math]

Passante per B:

[math]K = 4[/math]