Discussione di un problema parametrico
Salve a tutti
Ho provato a risolvere il seguente problema:
Un triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB = 2r; detta H la proiezione di C sul diametro e posto l'angolo CAB = x, determina l'ampiezza x in modo che sia verificata la relazione AB+CH=kHB.
Il triangolo è rettangolo in C
Ho provato a determinare AC con il teorema della corda: $ AC=2r*sin(90-x) $ $ AC=2r*cosx $
$ AH= CA*cosx$
$ CH= CA*sinx$
$HB= 2r-AH -> HB= 2r-CA*cosx $
A questo punto raggruppando le varie espressioni si ottiene una equazione piuttosto complicata per cui....non so come procedere (o forse esiste un modo più semplice e/o corretto?)
Grazie a chi mi aiuterà
Saluti
Giovanni C.
Ho provato a risolvere il seguente problema:
Un triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB = 2r; detta H la proiezione di C sul diametro e posto l'angolo CAB = x, determina l'ampiezza x in modo che sia verificata la relazione AB+CH=kHB.
Il triangolo è rettangolo in C
Ho provato a determinare AC con il teorema della corda: $ AC=2r*sin(90-x) $ $ AC=2r*cosx $
$ AH= CA*cosx$
$ CH= CA*sinx$
$HB= 2r-AH -> HB= 2r-CA*cosx $
A questo punto raggruppando le varie espressioni si ottiene una equazione piuttosto complicata per cui....non so come procedere (o forse esiste un modo più semplice e/o corretto?)
Grazie a chi mi aiuterà
Saluti
Giovanni C.
Risposte
Devi trasformare $2sinxcosx=sin2x$ e $2cos^2x=1+cos2x$, in questo modo il problema torna ad avere la forma parametrica di primo grado che può essere messa a sistema con l'arco di circonferenza, tieni conto che devi raddoppiare l'angolo anche nelle limitazioni, quindi la limitazione $0<=x<=pi/2$ diventerà $0<=2x<=pi$
Ciao e buon lavoro
Amelia
Ciao e buon lavoro
Amelia
"amelia":
Devi trasformare $2sinxcosx=sin2x$ e $2cos^2x=1+cos2x$, in questo modo il problema torna ad avere la forma parametrica di primo grado che può essere messa a sistema con l'arco di circonferenza, tieni conto che devi raddoppiare l'angolo anche nelle limitazioni, quindi la limitazione $0<=x<=pi/2$ diventerà $0<=2x<=pi$
Ciao e buon lavoro
Amelia
Ringrazio per la risposta,
Ho provato come indicato, sono arrivato a questo punto (sperando di non aver sbagliato..):
$ 1+cos2x+sin2x=k (1-cos2x)$
$ (1+cos2x+sin2x)/(1-cos2x)=k $
Però questa non mi sembra un'equazione lineare e quindi come la posso mettere a sistema con l'arco di circonferenza?
Grazie e saluti
Giovanni C.
quella che hai ottenuto è un'equazione lineare e k non è un'incognita, ma il parametro, non devi esplicitarlo, ma ricavarti il fascio di rette, comunque mi pare che ci sia un errore, ti riporto i calcoli che ho fatto io:
$bar(AB)=2r$
$bar(CH)=2r sinx cosx$
$bar(HB)= 2r-bar(AH) = 2r-2r cos^2x $
$bar(AB)+bar(CH)=k bar(HB)=>2r+2r sinx cosx=k(2r-2r cos^2x )=>2r+r sin2x=k(2r-r-cos2x)$ dividento tutto per r ottengo la forma lineare che ti avevo detto
$2+sin2x=k(1-cos2x)$, qui posto $sin2x=Y$ e $cos2x=X$, con $0<=2x<=pi$ ottengo $-1<=X<=1$ e $0<=Y<=1$ come limitazioni sulla circonferenza goniometrica $X^2+Y^2=1$ a sistema con il fascio di rette $2+Y=k(1-X)$ che è un'equazione lineare. Adesso basta trovare il centro del fascio, attento perché uno degli estremi è interessato dalla retta limite del fascio.
$bar(AB)=2r$
$bar(CH)=2r sinx cosx$
$bar(HB)= 2r-bar(AH) = 2r-2r cos^2x $
$bar(AB)+bar(CH)=k bar(HB)=>2r+2r sinx cosx=k(2r-2r cos^2x )=>2r+r sin2x=k(2r-r-cos2x)$ dividento tutto per r ottengo la forma lineare che ti avevo detto
$2+sin2x=k(1-cos2x)$, qui posto $sin2x=Y$ e $cos2x=X$, con $0<=2x<=pi$ ottengo $-1<=X<=1$ e $0<=Y<=1$ come limitazioni sulla circonferenza goniometrica $X^2+Y^2=1$ a sistema con il fascio di rette $2+Y=k(1-X)$ che è un'equazione lineare. Adesso basta trovare il centro del fascio, attento perché uno degli estremi è interessato dalla retta limite del fascio.
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